Как возводить в большую степень

Математические хитрости: 5 простых способов возводить число в степень без калькулятора

Возведение числа в степень — это одна из основных операций в математике. Обычно для этого используют калькулятор или компьютерную программу. Однако, если вы хотите научиться быстро и легко возводить число в степень без помощи калькулятора, то вам помогут эти 5 простых способов.

Способ 1: Умножение чисел

Один из самых простых способов возвести число в степень — это умножение его самого на себя нужное количество раз. Например, чтобы возвести число 2 в третью степень, необходимо умножить 2 на 2 на 2, то есть получается 2 x 2 x 2 = 8.

Способ 2: Пошаговое умножение

Для больших степеней такой способ может занять много времени и усилий. В этом случае можно использовать более эффективный способ, который называется пошаговое умножение. Например, чтобы возвести число 3 в пятую степень, можно сделать следующее:

• Умножить 3 на само себя, получается 3 x 3 = 9;
• Умножить 9 на 3, получается 9 x 3 = 27;
• Умножить 27 на 3, получается 27 x 3 = 81;
• Умножить 81 на 3, получается 81 x 3 = 243.

Таким образом, 3 в пятой степени равняется 243.

Способ 3: Использование диаграммы

Ещё один простой способ возвести число в степень — это использование диаграммы. Например, чтобы возвести число 2 в четвёртую степень, можно нарисовать следующую диаграмму:

Таким образом, 2 в четвёртой степени равняется 16.

Способ 4: Использование формулы

Если вы хотите возвести число в большую степень, то можете воспользоваться формулой для степени числа. Для этого необходимо знать, что можно возвести число в степень возведения в квадрат (2), в куб (3) и т.д., а затем умножить результаты между собой. Например, чтобы возвести число 2 в шестую степень, можно сделать следующее:

• Возвести 2 в квадрат, получается 2 x 2 = 4;
• Возвести 4 в квадрат, получается 4 x 4 = 16;
• Возвести 16 в квадрат, получается 16 x 16 = 256.

Таким образом, 2 в шестой степени равняется 256.

Способ 5: Использование секретного числа

Для этого способа необходимо запомнить некоторые числа, которые помогут возводить числа в степень. Например, чтобы возвести число 3 в четвёртую степень, необходимо использовать следующие числа: 3, 9, 81, 6561. Сначала умножаем 3 на 3, получаем 9, затем умножаем 9 на 9, получаем 81 и т.д. Таким образом, 3 в четвёртой степени равняется 81.

Вывод

Возведение числа в степень может быть выполнено не только с помощью калькулятора. Используя эти способы, можно возвести число в степень просто и легко, даже без помощи вычислительных устройств.

Возвести в степень (по модулю) + большие числа

Алгоритм быстрого возведения в степень онлайн с решением по модулю и без модуля. Функциональность поддерживает работу с большими числами.

Использование:

alt=»✔» />Заполняем необходимые данные целыми числами, отвечая на вопросы формы.
alt=»✔» />Жмем кнопку вычислить и получаем результат.

alt=»ℹ» />Галочка «по модулю» позволяет указать модуль, по которому необходимо возводить в степень.
alt=»ℹ» />Галочка «с решением» позволяет получить этапы вычисления: каким образом число возводилось в степень.

Ограничения калькулятора:

Максимальное число, которое можно возвести в степень — 1 000 000.
Максимальная степень, в которую можно возвести — 5000.
Модуль может быть довольно-таки большим, до 100 символов в числе. [1; 10e100)

Алгоритм быстрого возведения в степень (по модулю).

Одним из основных действий арифметики вычетов, возникающих, например, в криптографии, является вычисление а х (mod m), то есть нахождение такого у, что

где a, x, m — натуральные числа. Далее считаем, что a < m. Запись у = b (mod m) означает, что у ≡ b (mod m) и 0 ≤ у < m, т.е, y — наименьший неотрицательный вычет по модулю m, лежащий в том классе, что и b.

Если вычислять «в лоб», т.е. последовательно находить (приводим формулы по модулю):

то нужно выполнить (x — 1) умножение в кольце Z_m, Если n — количество разрядов в двоичной записи х, то число умножений не меньше, чем 2 n-1.

Лемма 1: Пусть x, m, a ∈ N. Пусть x = (x₀x₁ … x_n-1)₂ т.е.

Определим целые а_j по реккурентным формулам

Алгоритм (быстрого возведения в степень). Даны натуральные a, m и x = (x_n-1x_n-2 … x₀)₂. Нужно вычислить y = a x (mod m),

1. Вычисляем a_j (0 ≤ j ≤ n — 1) по формулам (2),

Лемма 2. Пусть n — число разрядов в двоичной записи x. Тогда, приведенный выше алгоритм требует выполнения не более, чем, 2(n -1) умножений в кольце Z_m

Пример 1. Возведем число 2 50 без модуля.

50₁₀ = 110010₂ , считаем длину в двоичной записи n = 6. Следовательно, нам надо посчитать a₁ … a₆ по формулам 2 из теории.

a₁ = 2; a₂ = 2 2 = 4, a₃ = 4 2 = 16, a₄ = 16 2 = 256, a₅ = 256 2 = 65536, a₆ = 65536 2 = 4294967296

x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 0, x₄ = 0, x₅ = 1, x₆ = 1 — двоичная запись в обратном порядке (от младших разрядов к старшим).

Перемножаем a_i-ые по второй формуле пункта 2. Другими словами, перемножаем между собой те a_i-ые, у которых на соответствующей позиции в двоичной записи степени стоят единицы — это a₂, a₅ и a₆;

2 50 = 4 * 65536 * 4294967296 = 1125899906842624

Пример 2. Возведем число 2 50 по модулю 100. Все аналогично, только считаем a_i-ые и произведения a_i-ых по модулю 100.

50₁₀ = 110010₂ , считаем длину в двоичной записи n = 6. Следовательно, нам надо посчитать a₁ … a₆ по формулам 2 из теории.

a₁ = 2; a₂ = 2 2 = 4, a₃ = 4 2 = 16, a₄ = 16 2 = 56, a₅ = 56 2 = 36, a₆ = 36 2 = 96 по модулю 100

x₁ = 0, x₂ = 1, x₃ = 0, x₄ = 0, x₅ = 1, x₆ = 1 — двоичная запись в обратном порядке (от младших разрядов к старшим).

Перемножаем a_i-ые по второй формуле пункта 2. Другими словами, перемножаем между собой те a_i-ые, у которых на соответствующей позиции в двоичной записи степени стоят единицы — это a₂, a₅ и a₆;

2 50 = 4 * 36 * 96 = 24 по модулю 100.

Заметили неточность в работе калькулятора? Убедительная просьба сообщить об этом в комментариях или через форму обратной связи. Заранее Вас благодарим.

Возведение в степень: правила, примеры

Мы разобрались, что вообще из себя представляет степень числа в математике. Теперь нам надо понять, как правильно выполнять ее вычисление, т.е. как возвести число в степень. В этом материале мы разберем основные правила вычисления степени в случае целого, натурального, дробного, рационального и иррационального показателя — как его находить и как его возвести в степень. Все определения будут проиллюстрированы примерами.

Понятие возведения в степень

Начнем с такого проверочного действия, как формулирование базовых определений.

Возвести число в степень — это вычисление значения степени некоторого числа.

То есть слова «вычисление значение степени» и «возведение в степень» означают одно и то же. Так, если в задаче стоит «Возведите число 0 , 5 в пятую степень», это следует понимать как «вычислите значение степени ( 0 , 5 ) 5 .

Теперь приведем основные правила, которым нужно придерживаться при таких вычислениях.

Как возвести число в натуральную степень

Вспомним, что такое степень числа с натуральным показателем. Для степени с основанием a и показателем n это будет произведение n -ного числа множителей, каждый из которых равен a . Что собой представляет такое вычисление? Это можно написать так:

Чтобы вычислить значение степени, нужно выполнить действие умножения, то есть перемножить основания степени указанное число раз. На умении быстро умножать и основано само понятие степени с натуральным показателем. Приведем примеры.

Условие: возведите — 2 в степень 4 .

Решение

Используя определение выше, запишем: ( − 2 ) 4 = ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) · ( − 2 ) . Далее нам нужно просто выполнить указанные действия и получить 16 .

Возьмем пример посложнее.

Вычислите значение 3 2 7 2

Как будем решать

Данную запись можно перевести или переписать в виде 3 2 7 · 3 2 7 . Ранее мы рассматривали, как правильно умножать смешанные числа, упомянутые в условии.

Выполним эти действия и получим ответ: 3 2 7 · 3 2 7 = 23 7 · 23 7 = 529 49 = 10 39 49

Если в задаче указана необходимость возводить иррациональные числа в натуральную степень, нам потребуется предварительно округлить их основания до разряда, который позволит нам получить ответ нужной точности. Разберем пример.

Выполните возведение в квадрат числа π .

Решение

Для начала округлим его до сотых. Тогда π 2 ≈ ( 3 , 14 ) 2 = 9 , 8596 . Если же π ≈ 3 . 14159 , то мы получим более точный результат: π 2 ≈ ( 3 , 14159 ) 2 = 9 , 8695877281 .

Отметим, что необходимость посчитать степени иррациональных чисел на практике возникает сравнительно редко. Мы можем тогда записать ответ в виде самой степени ( ln 6 ) 3 или преобразовать, если это возможно: 5 7 = 125 5 .

Отдельно следует указать, что такое первая степень числа. Тут можно просто запомнить, что любое число, возведенное в первую степень, останется самим собой:

Это понятно из записи .

От основания степени это не зависит.

Так, ( − 9 ) 1 = − 9 , а 7 3 , возведенное в первую степень, останется равно 7 3 .

Как возвести число в целую степень

Для удобства разберем отдельно три случая: если показатель степени — целое положительное число, если это ноль и если это целое отрицательное число.

В первое случае это то же самое, что и возведение в натуральную степень: ведь целые положительные числа принадлежат ко множеству натуральных. О том, как работать с такими математическими степенями, мы уже рассказали выше.

Теперь посмотрим, как правильно будет возводиться в нулевую степень. При основании, которое отличается от нуля, это вычисление всегда дает на выходе 1 . Ранее мы уже поясняли, что 0 -я степень a может быть определена для любого действительного числа, не равного 0 , и a 0 = 1 .

5 0 = 1 , ( — 2 , 56 ) 0 = 1 2 3 0 = 1

0 0 — не определен.

У нас остался только случай степени с целым отрицательным показателем. Мы уже разбирали, что такие степени можно записать в виде дроби 1 a z , где а — любое число, а z — целый отрицательный показатель. Мы видим, что знаменатель этой дроби есть не что иное, как обыкновенная степень с целым положительным показателем, а ее вычислять мы уже научились. Приведем знакомые примеры задач.

Выполните возведение 2 в степень — 3 .

Решение

Используя определение выше, запишем: 2 — 3 = 1 2 3

Подсчитаем знаменатель этой дроби. Сколько получим? Цифра (или сумма) будет равна восьмидесяти восьми: 2 3 = 2 · 2 · 2 = 8 .

Тогда ответ таков: 2 — 3 = 1 2 3 = 1 8

Возведите 1 , 43 в степень — 2 .

Решение

Переформулируем: 1 , 43 — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2

Вычисляем квадрат (квадратный показатель) в знаменателе: 1,43·1,43. Десятичные дроби можно умножить таким способом:

В итоге у нас вышло ( 1 , 43 ) — 2 = 1 ( 1 , 43 ) 2 = 1 2 , 0449 . Этот результат нам осталось записать в виде обыкновенной дроби, для чего необходимо умножить ее на 10 тысяч (см. материал о преобразовании дробей).

Ответ: ( 1 , 43 ) — 2 = 10000 20449

Отдельный случай — возведение числа в минус первую (минусовую) степень. Значение такой степени равно числу, обратному исходному значению основания: a — 1 = 1 a 1 = 1 a .

Пример: 3 − 1 = 1 / 3

9 13 — 1 = 13 9 6 4 — 1 = 1 6 4 .

Как возвести число в дробную степень

Для выполнения такой операции нам потребуется вспомнить базовое определение степени с дробным показателем: a m n = a m n при любом положительном a , целом m и натуральном n .

Таким образом, вычисление дробной степени нужно выполнять в два действия: возведение в целую степень и нахождение корня n -ной степени.

У нас есть равенство a m n = a m n , которое, учитывая свойства корней, обычно применяется для решения задач в виде a m n = a n m . Это значит, что если мы возводим число a в дробную степень m / n , то сначала мы извлекаем корень n -ной степени из а , потом возводим результат в степень с целым показателем m .

Проиллюстрируем на примере.

Вычислите 8 — 2 3 .

Решение

Способ 1. Согласно основному определению, мы можем представить это в виде: 8 — 2 3 = 8 — 2 3

Теперь подсчитаем степень под корнем и извлечем корень третьей степени (в кубе или кубический) из результата: 8 — 2 3 = 1 64 3 = 1 3 3 64 3 = 1 3 3 4 3 3 = 1 4

Способ 2. Преобразуем основное равенство: 8 — 2 3 = 8 — 2 3 = 8 3 — 2

После этого извлечем корень 8 3 — 2 = 2 3 3 — 2 = 2 — 2 и результат возведем в квадратик: 2 — 2 = 1 2 2 = 1 4

Видим, что решения идентичны. Можно пользоваться любым понравившимся способом.

Бывают случаи, когда степень имеет показатель, выраженный смешанным числом или десятичной дробью. Для простоты вычислений его лучше заменить обычной дробью и рассчитать, как указано выше.

Возведите 44 , 89 в степень 2 , 5 .

Решение

Преобразуем значение показателя в обыкновенную дробь: 44 , 89 2 , 5 = 44 , 89 5 2 .

А теперь выполняем по порядку все действия, указанные выше: 44 , 89 5 2 = 44 , 89 5 = 44 , 89 5 = 4489 100 5 = 4489 100 5 = 67 2 10 2 5 = 67 10 5 = = 1350125107 100000 = 13 501 , 25107

Ответ: 13 501 , 25107 .

Если в числителе и знаменателе дробного показателя степени стоят большие числа, то вычисление таких степеней с рациональными показателями — довольно сложная и большая работа. Для нее обычно требуется вычислительная техника.

Отдельно остановимся на степени с нулевым основанием и дробным показателем. Выражению вида 0 m n можно придать такой смысл: если m n > 0 , то 0 m n = 0 m n = 0 ; если m n < 0 нуль остается не определен. Таким образом, возведение нуля в дробную положительную степень приводит к нулю: 0 7 12 = 0 , 0 3 2 5 = 0 , 0 0 , 024 = 0 , а в целую отрицательную — значения не имеет: 0 — 4 3 .

Как возвести число в иррациональную степень

Необходимость вычислить значение степени, в показателе которой стоит иррациональное число, возникает не так часто. На практике обычно задача ограничивается вычислением приблизительного значения (до некоторого количества знаков после запятой). Обычно это считается на компе (компьютере) или онлайн из-за сложности таких подсчетов, поэтому подробно останавливаться на этом не будем, укажем лишь основные положения.

Если нам нужно вычислить значение степени a с иррациональным показателем a , то мы берем десятичное приближение показателя и считаем по нему. Результат и будет приближенным ответом. Чем точнее взятое десятичное приближение, тем точнее ответ. Покажем на примере:

Вычислите приближенное значение 2 в степени 1,174367.

Решение

Ограничимся десятичным приближением a n = 1 , 17 . Проведем вычисления с использованием этого числа: 2 1 , 17 ≈ 2 , 250116 . Если же взять, к примеру, приближение a n = 1 , 1743 , то ответ будет чуть точнее: 2 1 , 174367 . . . ≈ 2 1 , 1743 ≈ 2 , 256833 .

Возведение степени в степень

Как степень возвести в степень? Рассмотрим пример.

Если степень возвести в степень, то показатели перемножатся, а основание не меняется: ( aᵑ ) ᵐ = aᵑ * ᵐ.

Здесь а — это любое число, а n и m — натуральные числа. Вот такой пример вы можете использовать, чтобы получить степень в степени.

Все примеры воззведения в степень можно найти в интернете в удобных таблицах.

Как вычислить большую степень?

Онлайн калькулятор разложения Шенкса (задача дискретного логарифмирования) выдал подобные результаты.

2^(1⋅24) ≡ 265(mod541)
2^(2⋅24) ≡ 436(mod541)
.

Заранее могу сказать, что посчитал он правильно, однако сам способ вычисления я совершенно не понял.

Какие подходы задействованы для вычисления:
а) большой степени
б) откуда взялось деление с остатком?
в) не понял суть знака «тождественно равно» (вики прочитал, но разницы от обычного знака равенства не уяснил)

• Вопрос задан более трёх лет назад
• 6911 просмотров

• Facebook
• Вконтакте
• Twitter

Большую степень не вычисляют в лоб, тем более, что при выполнении действий в модульной арифметике её не нужно хранить целиком, достаточно хранить остаток от деления на известное постоянное число. Знак «тождественное равенство» используется как знак равенства в модульной арифметике, если модуль указан отдельно, поскольку сами числа, естественно, не равны.

Дискретное логарифмирование — формально, задача на пространстве решений, на котором можно применять модульную арифметику над многочленами или числами, с некоторым простым числом в качестве размера множества, частного для деления по модулю и вообще.

Саму степень по модулю можно вычислить довольно простым образом: Вначале раскладываем показатель на двоичные составляющие: 2*24 = 48 = 32+16 = 2^5+2^4. Потом пользуемся двумя тождествами: Первое x^(a+b)=x^a*x^b — произведение степеней одного числа равно степени числа в сумме показателей (забыл точное название). Второе (x*y) mod n = (x mod n)*(y mod n) — неважно, когда брать остаток, в начале или в конце. В итоге возведение числа 2 в большую степень по модулю N выполняется так: в результат заносится 1, в аргумент 2, потом в цикле по разрядам показателя если текущий двоичный разряд показателя 1, результат множится на аргумент и берется остаток по модулю N, который кладется в результат, а аргумент потом умножается на себя и остаток аргумента по модулю N кладется в аргумент.

Итого: аргумент принимает последовательно значения 2, 4, 16, 256, 65536 mod 541 = 75, 75*75 mod 541 = 215, а результат — 1, 1, 1, 1, 75, 75*215 mod 541 = 436.