Как построить центроид многоугольника

Расчет центроида сложных форм методом геометрической декомпозиции

Центроид — это центральная точка фигуры, также называемая геометрическим центром. Это точка, которая соответствует центру тяжести определенной формы. Это точка, которая соответствует среднему положению всех точек на рисунке. Центроид — это термин для двумерных форм. Центр масс — это термин для трехмерных фигур. Например, центр тяжести круга и прямоугольника находится посередине. Центроид прямоугольного треугольника находится на 1/3 снизу и от прямого угла. Но как насчет центроида сложных форм?

Что такое геометрическая декомпозиция?

Геометрическая декомпозиция

Пошаговая процедура решения центроида составных форм

Вот серия шагов в поиске центроида любой составной формы.

1. Разделите данную составную фигуру на различные первичные фигуры. Эти основные фигуры включают прямоугольники, круги, полукруги, треугольники и многое другое. При разделении составной фигуры включайте детали с отверстиями. Эти отверстия следует рассматривать как твердые компоненты, но с отрицательными значениями. Убедитесь, что вы разбили каждую часть составной формы, прежде чем переходить к следующему шагу.

2. Найдите площадь каждой разделенной фигуры. Таблица 1-2 ниже показывает формулы для различных основных геометрических фигур. После определения области дайте название каждой области (область один, область два, область три и т. Д.). Сделайте отрицательную область для обозначенных областей, которые действуют как отверстия.

3. На данной фигуре должны быть оси абсцисс и оси ординат. Если оси x и y отсутствуют, нарисуйте оси наиболее удобным способом. Помните, что ось X — это горизонтальная ось, а ось Y — это вертикальная ось. Вы можете расположить оси посередине, слева или справа.

4. Получите расстояние центроида каждой разделенной основной фигуры от оси x и оси y. В таблице 1-2 ниже показаны центроиды для различных основных форм.

Центроид для общих форм

Таблица 1-2: Центроид для общих форм. X-bar — это расстояние от центроида до оси y. Полоса Y — это расстояние от центроида до оси x.

Форма Площадь X-бар Y-образная штанга

(2рсин (альфа)) / 3 (альфа)

(rsin (альфа)) / альфа

Площадь под навесом

5. Создание таблицы всегда упрощает вычисления. Постройте таблицу, подобную приведенной ниже.

Таблица 1-1: Формат таблицы. X — расстояние центроида от оси y. Y — расстояние центроида от оси x.

Название области Площадь (А) Икс у Топор Ау

6. Умножьте площадь «A» каждой базовой формы на расстояние между центроидами «x» и осью y. Тогда получим суммирование ΣAx. См. Формат таблицы выше.

7. Умножьте площадь «A» каждой основной формы на расстояние между центроидами «y» и осью x. Тогда получим суммирование ΣAy. См. Формат таблицы выше.

8. Найдите общую площадь ΣA всей фигуры.

9. Найдите центроид C_Иксвсей фигуры путем деления суммы ΣAx на общую площадь фигуры ΣA. Результирующий ответ — это расстояние от центра тяжести всей фигуры до оси ординат.

10. Найдите центроид C_у всей фигуры путем деления суммы ΣAy на общую площадь фигуры ΣA. В результате получается расстояние от центра тяжести всей фигуры до оси абсцисс.

Вот несколько примеров получения центроида.

Проблема 1: Центроид C-образных форм

Решение 1

а. Разделите сложную фигуру на основные фигуры. В этом случае C-образная форма состоит из трех прямоугольников. Назовите три подразделения как Зона 1, Зона 2 и Зона 3.

б. Решите для площади каждого подразделения. Прямоугольники имеют размеры 120 x 40, 40 x 50, 120 x 40 для области 1, области 2 и области 3 соответственно.

Площадь 1 = bxh Площадь 1 = 120,00 мм x 40,00 мм Площадь 1 = 4800,00 квадратных миллиметров Площадь 2 = bxh Площадь 2 = 40,00 мм x 50,00 мм Площадь 2 = 2000 квадратных миллиметров Площадь 3 = bxh Площадь 3 = 120,00 мм x 40,00 мм Площадь 3 = 4800,00 квадратных миллиметров A = 4800 + 2000 + 4800 A = 11600,00 квадратных миллиметров

c. Расстояния X и Y каждой области. Расстояния по X — это расстояния от центроида каждой области до оси y, а расстояния по Y — это расстояния от центроида каждой области от оси x.

Площадь 1: x = 60,00 миллиметров y = 20,00 миллиметров Площадь 2: x = 100,00 миллиметров y = 65,00 миллиметров Область 3: x = 60 миллиметров y = 110 миллиметров

d. Найдите значения Ax. Умножьте площадь каждой области на расстояния от оси Y.

Ax1 = 4800,00 квадратных мм x 60,00 мм Ax1 = 288000 кубических миллиметров Ax2 = 2000,00 квадратных мм x 100,00 мм Ax2 = 200000 кубических миллиметров Ax3 = 4800,00 квадратных мм x 60,00 мм Ax3 = 288000 кубических миллиметров Ax = 776000 кубических миллиметров

е. Найдите значения Ay. Умножьте площадь каждой области на расстояния от оси абсцисс.

Ay1 = 4800,00 квадратных мм x 20,00 мм Ay1 = 96000 кубических миллиметров Ay2 = 2000,00 квадратных мм x 65,00 мм Ay2 = 130000 кубических миллиметров Ay3 = 4800,00 квадратных мм x 110,00 мм Ay3 = 528000 кубических миллиметров Ay = 754000 кубических миллиметров

Все единицы указаны в миллиметрах.

Название области Площадь (А) Икс у Топор Ау

f. Наконец, найдите центроид (C_Икс, С_у) разделив Ax на A и Ay на A.

Cx = ΣAx / ΣA Cx = 776000/11600 Cx = 66,90 миллиметров Cy = ΣAy / ΣA Cy = 754000/11600 Cy = 65,00 миллиметров

Центроид сложной фигуры находится на расстоянии 66,90 миллиметра от оси y и 65,00 миллиметра от оси x.

Проблема 2: Центроид неправильных фигур

Решение 2

а. Разделите сложную фигуру на основные фигуры. В этом случае неправильная форма имеет полукруг, прямоугольник и прямоугольный треугольник. Назовите три подразделения как Зона 1, Зона 2 и Зона 3.

б. Решите для площади каждого подразделения. Размеры прямоугольника 250 x 300, прямоугольного треугольника 120 x 120, а полукруга — 100. Обязательно инвертируйте значения для прямоугольного треугольника и полукруга, потому что это отверстия.

Площадь 1 = bxh Площадь 1 = 250,00 мм x 300,00 мм Площадь 1 = 75000,00 квадратных миллиметров Площадь 2 = 1/2 (bh) Площадь 2 = 1/2 (120 мм) (120 мм) Площадь 2 = — 7200 квадратных миллиметров Площадь 3 = ((pi) r ^ 2) / 2 Площадь 3 = ((pi) (100) ^ 2) / 2 Площадь 3 = — 5000pi квадратных миллиметров A = 75000.00 — 7200 — 5000pi A = 52092,04 квадратных миллиметра

c. Расстояния X и Y каждой области. Расстояния по X — это расстояния от центроида каждой области до оси y, а расстояния по y — это расстояния от центроида каждой области от оси x. Учтите ориентацию осей x и y. Для квадранта I значения x и y положительны. Для квадранта II x отрицателен, а y положителен.

Площадь 1: x = 0 y = 125,00 миллиметров Площадь 2: x = 110,00 миллиметров y = 210,00 миллиметров Область 3: x = — 107,56 миллиметров y = 135 миллиметров

d. Найдите значения Ax. Умножьте площадь каждой области на расстояния от оси Y.

Ax1 = 75000,00 квадратный мм x 0,00 мм Ax1 = 0 Ax2 = — 7200,00 квадратный мм x 110,00 мм Ax2 = — 792000 кубических миллиметров Ax3 = — 5000pi квадратный мм x — 107,56 мм Ax3 = 1689548,529 кубических миллиметров Ax = 897548,529 кубических миллиметров

е. Найдите значения Ay. Умножьте площадь каждой области на расстояния от оси абсцисс.

Ay1 = 75000,00 квадратный мм x 125,00 мм Ay1 = 9375000 кубических миллиметров Ay2 = — 7200,00 квадратных мм x 210,00 мм Ay2 = — 1512000 кубических миллиметров Ay3 = — 5000pi квадратный мм x 135,00 мм Ay3 = — 2120575,041 кубических миллиметров Ay = 5742424,959 кубических миллиметров

Центроид — Centroid

В математика и физика, центроид или геометрический центр плоской фигуры — это среднее арифметическое положение всех точек на рисунке. Неформально, это точка, в которой вырез формы может быть идеально сбалансирован на кончике булавки.

Определение распространяется на любой объект в n- мерном пространстве : его центроид — это среднее положение всех точек во всех направлениях координат.

В то время как в геометрии слово барицентр является синонимом центроида, в астрофизике и астрономии барицентр — это центр масс двух или более тел, вращающихся по орбите друг с другом. В физике центр масс — это среднее арифметическое всех точек , взвешенных по локальной плотности или удельному весу. Если физический объект имеет однородную плотность, его центр масс совпадает с центроидом его формы.

В geography центроид радиальной проекции области земной поверхности на уровень моря — это географический центр региона.

Содержание

1 История
2 Свойства
3 Примеры
4 Расположение
- 4.1 Метод отвеса
- 4.2 Метод балансировки
- 4.3 Из конечного набора точек
- 4.4 Путем геометрического разложения
- 4.5 По интегральной формуле
- 4.6 Ограниченной области
- 4.7 L-образного объекта
- 4.8 Треугольника
- 4.9 Многоугольника
- 4.10 Конуса или пирамиды
- 4.11 Тетраэдра и n -мерный симплекс
- 4.12 Полушария
История

Термин «центроид» появился недавно чеканка (1814 г.). Он используется в качестве замены старых терминов «центр тяжести » и «центр масс », когда необходимо подчеркнуть чисто геометрические аспекты этой точки. Термин свойственен английскому языку. Французы чаще всего используют «центр притяжения», а другие используют термины схожего значения.

Центр тяжести, как следует из названия, возник в механике, скорее всего, в связи со строительством. Когда, где и кем он был изобретен, неизвестно, так как эта концепция, вероятно, пришла в голову многим людям индивидуально с небольшими различиями.

Хотя возможно Евклид все еще был активен в Александрии в детстве Архимеда (287–212 до н.э.), несомненно, что когда Архимед посетил Александрия, Евклида там больше не было. Таким образом, Архимед не мог усвоить теорему о том, что медианы треугольника пересекаются в точке — центре тяжести треугольника непосредственно от Евклида, поскольку этого утверждения нет в Элементах Евклида. Первое явное утверждение этого предположения принадлежит Герону Александрийскому (возможно, I век н.э.) и встречается в его «Механике». Между прочим, можно добавить, что это положение не входило в учебники по геометрии плоскости до XIX века.

Хотя Архимед прямо не заявляет об этом утверждении, он косвенно ссылается на него, предполагая, что он был с ним знаком. Однако Жан Этьен Монтукла (1725–1799), автор первой истории математики (1758), категорически заявляет (т. I, стр. 463), что центр тяжести твердых тел является предметом Архимеда не трогал.

В 1802 году Шарль Босу (1730–1813) опубликовал двухтомный Essai sur l’histoire générale des mathématiques. Эта книга была высоко оценена современниками, судя по тому, что уже через два года после публикации она была переведена на итальянский (1802–03), английский (1803) и немецкий (1804) языки. Боссут считает, что Архимед обнаружил центроид плоских фигур, но ничего не говорит о твердых телах.

Свойства

Геометрический центроид выпуклого объекта всегда лежит в объект. У невыпуклого объекта центр тяжести может находиться за пределами самой фигуры. Центроид кольца кольца или чаши, например, лежит в центральной пустоте объекта.

Если центроид определен, он является фиксированной точкой всех изометрий в его группе симметрии. В частности, геометрический центр тяжести объекта лежит на пересечении всех его гиперплоскостей симметрии . Центроид многих фигур (правильный многоугольник, правильный многогранник, цилиндр, прямоугольник, ромб, круг, сфера, эллипс, эллипсоид, суперэллипс, суперэллипсоид и т. д.) может определяться только этим принципом.

В частности, центр тяжести параллелограмма является точкой пересечения его двух диагоналей . Это не относится к другим четырехугольникам .

. По той же причине центроид объекта с трансляционной симметрией не определен (или находится за пределами ограничивающего пространства), поскольку сдвиг не имеет фиксированной точки..

Примеры

Центроид треугольника — это пересечение трех медиан треугольника (каждая медиана соединяет вершину с серединой противоположной стороны).

Другие свойства центроида треугольника см. В ниже.

Определение местоположения

Метод отвесной линии

Центроид равномерно плотной плоской пластинки, например, на рисунке (а) ниже, может быть определено экспериментально с использованием отвеса и штифта для нахождения совмещенного центра масс тонкого тела однородной плотности, имеющего такую же форму. Корпус удерживается штифтом, вставленным в точку за пределами предполагаемого центра тяжести, таким образом, что он может свободно вращаться вокруг штифта; затем отвес снимается со штифта (рисунок b). Положение отвеса отслеживается на поверхности, и процедура повторяется со шпилькой, вставленной в любой другой точке (или в нескольких точках) за пределами центроида объекта. Единственной точкой пересечения этих линий будет центроид (рисунок c). При условии, что тело имеет однородную плотность, все линии, построенные таким образом, будут включать центроид, и все линии будут пересекаться в одном и том же месте.

(a) (b) (c)

Этот метод может быть расширен (теоретически) на вогнутые формы, где центр тяжести может лежать вне формы, и фактически к твердым телам (опять же с однородной плотностью), где центр тяжести может находиться внутри тела. (Виртуальные) положения отвесов должны быть записаны другими способами, кроме их рисования по форме.

Метод балансировки

Для выпуклых двумерных форм центр тяжести может быть найден путем уравновешивания формы на меньшей форме, такой как вершина узкого цилиндра. Центроид находится где-то в пределах диапазона контакта между двумя формами (и точно в точке, где форма будет балансировать на штифте). В принципе, для определения центра тяжести с произвольной точностью можно использовать все более узкие цилиндры. На практике воздушные потоки делают это невозможным. Однако, отмечая диапазон перекрытия нескольких весов, можно достичь значительного уровня точности.

конечного набора точек

Центроид конечного набора k <\ displaystyle k>точек x 1, x 2, …, Xk <\ displaystyle \ mathbf _ <1>, \ mathbf _ <2>, \ ldots, \ mathbf _ > в R п <\ displaystyle \ mathbb ^ > равно

Эта точка минимизирует сумму квадратов евклидовых расстояний между собой и каждая точка в наборе.

Путем геометрического разложения

Центроид плоской фигуры X <\ displaystyle X>можно вычислить, разделив его на конечное число более простых фигур X 1, X 2,…, X n <\ displaystyle X_ <1>, X_ <2>, \ dots, X_ > , вычисление центроида C i <\ displaystyle C_ > и области A i <\ displaystyle A_ > каждой части, а затем вычисление

Отверстия на рисунке X <\ displaystyle X >, перекрытия между частями или части, выходящие за пределы рисунка, могут быть обработаны с использованием отрицательных областей A i <\ displaystyle A_ > . А именно, меры A i <\ displaystyle A_ > следует принимать с положительными и отрицательными знаками таким образом, чтобы сумма знаков A i <\ displaystyle A_ > для всех частей, которые окружают данную точку p <\ displaystyle p>равно 1, если p <\ displaystyle p>принадлежит X <\ displaystyle X>, иначе 0.

Например, рисунок ниже (а) легко разделить на квадрат и треугольник, оба с положительной площадью; и круглое отверстие с отрицательной площадью (b).

(a) 2D-объект (b) Объект, описанный с использованием более простых элементов (c) Центроиды элементов объекта

Центроид каждой части можно найти в любом списке центроидов простых форм (в). Тогда центроид фигуры — это средневзвешенное значение трех точек. Горизонтальное положение центроида от левого края рисунка

x = 5 × 10 2 + 13,33 × 1 2 10 2 — 3 × π 2,5 2 10 2 + 1 2 10 2 — π 2,5 2 ≈ 8,5 единицы измерения. <\ displaystyle x = <\ frac <5 \ times 10 ^ <2>+13,33 \ times <\ frac <1><2>> 10 ^ <2>-3 \ times \ pi 2,5 ^ <2>> <10 ^ <2>+ <\ frac <1><2>> 10 ^ <2>— \ pi 2,5 ^ <2>>> \ приблизительно 8,5 <\ mbox >.>

Вертикальное положение центроид находится точно так же.

Та же формула верна для любых трехмерных объектов, за исключением того, что каждый A i <\ displaystyle A_ > должен быть объемом X i < \ displaystyle X_ > , а не его площадь. Это также справедливо для любого подмножества R d <\ displaystyle \ mathbb ^ > , для любого измерения d <\ displaystyle d>с областями, замененными на d <\ displaystyle d>-размерные меры частей.

По интегральной формуле

Центроид подмножества X из R n <\ displaystyle \ mathbb ^ > также может быть вычислен интегралом

где интегралы берутся по всему пространству R n <\ displaystyle \ mathbb ^ > , а g — характеристика функция подмножества, которая равна 1 внутри X и 0 вне его. Обратите внимание, что знаменатель — это просто мера множества X. Эта формула не может быть применена, если у множества X есть нулевая мера или если любой интеграл расходится.

Другая формула для центроида:

где C k — это k-я координата C, а S k (z) — это мера пересечения X с гиперплоскостью, определяемая уравнением x k = z. И снова знаменатель — это просто мера X.

Для плоской фигуры, в частности, координаты центра масс:

где A — площадь фигуры X; S y (x) — длина пересечения X с вертикальной линией на абсциссе x; и S x (y) — аналогичная величина для поменяемых местами осей.

ограниченной области

где A <\ displaystyle A>— площадь региона (заданная как ∫ ab [f (x) — g (x)] dx <\ displaystyle \ int _ ^ [f (x) -g (x)] \; dx> ).

L-образного объекта

Это метод определения ce ntroid L-образного объекта.

Разделите фигуру на два прямоугольника, как показано на рис. 2. Найдите центроиды этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Нарисуйте линию, соединяющую центроиды. Центроид фигуры должен лежать на этой линии AB.

Разделите фигуру на два других прямоугольника, как показано на рис. 3. Найдите центроиды этих двух прямоугольников, нарисовав диагонали. Нарисуйте линию, соединяющую центроиды. Центроид L-образной формы должен лежать на этой прямой CD.

Поскольку центр тяжести формы должен лежать как вдоль AB, так и вдоль CD, он должен быть на пересечении этих двух линий в точке O. точка O может находиться внутри или снаружи L-образного объекта.

треугольника

Центроид треугольника — это точка пересечения его медиан (линии соединение каждой вершины со средней точкой противоположной стороны). Центроид делит каждую из медиан в соотношении 2: 1, то есть находится на расстояния от каждой стороны до противоположной вершины (см. Рисунки справа). Его декартовы координаты — это означает координат трех вершин. То есть, если три вершины равны L = (x L, y L), <\ displaystyle L = (x_ , y_ ),> M = (x M, y M), <\ displaystyle M = (x_ , y_ ),> и N = (x N, y N), <\ displaystyle N = (x_ , y_ ),> , то центроид (обозначенный здесь C, но чаще всего обозначаемый G в геометрии треугольника ) равен

C = 1 3 (L + M + N) = (1 3 (x L + x M + x N), 1 3 (y L + y M + y N)). <\ displaystyle C = <\ frac <1><3>> (L + M + N) = \ left ( <\ frac <1><3>> (x_ + x_ + x_ ), \; \; <\ frac <1><3>> (y_ + y_ + y_ ) \ right).>

В трилинейных координатах центроид может быть выражен любым из этих эквивалентных способов с точки зрения длин сторон a, b, c и углов при вершинах L, M, N:

Центроид также является физическим центром масс, если треугольник сделан из однородного листа материала; или если вся масса сосредоточена в трех вершинах и поровну разделена между ними. С другой стороны, если масса распределена по периметру треугольника с равномерной линейной плотностью, то центр масс находится в центре Шпикера (центр среднего треугольника ), который (в общем случае) не совпадает с геометрическим центром тяжести полного треугольника.

Площадь треугольника в 1,5 раза превышает длину любой стороны, умноженную на перпендикулярное расстояние от стороны до центроида.

Центроид треугольника лежит на его прямой Эйлера между его ортоцентром H и его центром описанной окружности O, ровно в два раза ближе к последнему, чем к первому:

CH ¯ = 4 CN ¯ CO ¯ = 2 CN ¯ IC ¯

Если G — центр тяжести треугольника ABC, то:

(Площадь △ ABG) = (Площадь △ ACG) = (Площадь △ BCG) = 1 3 (Площадь △ ABC) <\ displaystyle \ displaystyle (<\ text <Площадь>> \ треугольник \ mathrm ) = (<\ text <Площадь>> \ треугольник \ mathrm ) = (<\ text <Площадь>> \ треугольник \ mathrm ) = <\ frac <1><3>> (<\ text <Площадь>> \ треугольник \ mathrm )>

Любая из трех медиан, проходящих через центроид, делит площадь треугольника пополам. Это неверно для других линий, проходящих через центроид; наибольшее отклонение от деления на равные площади происходит, когда линия, проходящая через центр тяжести, параллельна стороне треугольника, образуя меньший треугольник и трапецию ; в этом случае площадь трапеции равна 5/9 площади исходного треугольника.

Пусть P — любая точка на плоскости треугольника с вершинами A, B, C и центроидом G. Тогда сумма Квадрат расстояний P от трех вершин превышает сумму квадратов расстояний от центроида G до вершин в три раза больше квадрата расстояния между P и G:

PA 2 + PB 2 + PC 2 = GA 2 + GB 2 + GC 2 + 3 PG 2. <\ displaystyle PA ^ <2>+ PB ^ <2>+ PC ^ <2>= GA ^ <2>+ GB ^ <2>+ GC ^ <2>+ 3PG ^ <2>.>

сумма квадратов сторон треугольника равна троекратной сумме квадратов расстояний от центроида до вершин:

AB 2 + BC 2 + CA 2 = 3 (GA 2 + GB 2 + GC 2). <\ displaystyle AB ^ <2>+ BC ^ <2>+ CA ^ <2>= 3 (GA ^ <2>+ GB ^ <2>+ GC ^ <2>).>

Центроид треугольника равен точка, которая максимизирует произведение ориентированных расстояний от точки до сторон треугольника.

Пусть ABC — треугольник, пусть G — его центр тяжести, а D, E и F — середины BC, CA и AB соответственно. Для любой точки P в плоскости ABC тогда

P A + P B + P C ≤ 2 (P D + P E + P F) + 3 P G.

многоугольника

Центроид несамопересекающегося замкнутого многоугольника, определяемое n вершинами (x 0,y0), (x 1,y1). (x n − 1, y n − 1), является точкой ( C x, C y), где

C x = 1 6 A ∑ i = 0 n — 1 (xi + xi + 1) (xiyi + 1 — xi + 1 yi), <\ displaystyle C _ <\ mathrm > = <\ frac <1><6A>> \ sum _ ^ (x_ + x_ ) (x_ \ y_ -x_ \ y_ ),> и C y = 1 6 A ∑ i = 0 п — 1 (yi + yi + 1) (xiyi + 1 — xi + 1 yi), <\ displaystyle C _ <\ mathrm > = <\ frac <1><6A>> \ sum _ ^ (y_ + y_ ) (x_ \ y_ -x_ \ y_ ),>

и где A — подписанная площадь многоугольника, как описано формулой шнурка :

A = 1 2 ∑ i = 0 n — 1 (xiyi + 1 — xi + 1 yi). <\ displaystyle A = <\ frac <1><2>> \ sum _ ^ (x_ \ y_ -x_ \ y_ ).>

В этих формулах предполагается, что вершины пронумерованы в порядке их появления по периметру многоугольника; кроме того, вершина (x n, y n) предполагается такой же, как (x 0, y 0), значение i + 1 <\ displaystyle i + 1>в последнем случае должно выполняться в цикле до i = 0 <\ displaystyle i = 0>. (Если точки пронумерованы по часовой стрелке, площадь A, вычисленная, как указано выше, будет отрицательной; однако координаты центроида будут правильными даже в этом случае.)

Конуса или пирамиды

Центроид конуса или пирамиды расположен на отрезке линии, который соединяет вершину с центроидом основания. Для твердого конуса или пирамиды центр тяжести составляет 1/4 расстояния от основания до вершины. Для конуса или пирамиды, представляющих собой просто оболочку (полую) без основания, центроид составляет 1/3 расстояния от плоскости основания до вершины.

тетраэдра и n-мерного симплекса

A тетраэдр представляет собой объект в трехмерном пространстве, имеющий четыре треугольника в качестве его граней. Отрезок, соединяющий вершину тетраэдра с центром тяжести противоположной грани, называется срединной, а отрезок, соединяющий середины двух противоположных ребер, называется бимедианой. Следовательно, есть четыре медианы и три бимедианы. Эти семь отрезков пересекаются в центре тетраэдра. Медианы делятся на центроид в соотношении 3: 1. Центроид тетраэдра — это середина между его точкой Монжа и центром описанной области (центром описанной сферы). Эти три точки определяют линию Эйлера тетраэдра, которая аналогична прямой Эйлера треугольника.

Эти результаты обобщаются на любой n-мерный симплекс следующим образом. Если набор вершин симплекса равен v 0,…, vn <\ displaystyle , \ ldots, v_ >> , то рассматриваемые вершины как векторов, центроид равен

Геометрический центроид совпадает с центром масс, если масса равномерно распределена по всему симплексу или сосредоточена в вершинах как n + 1 равных масс.

полушария

Центроид твердого полушария (т.е. половина твердого шара) делит отрезок прямой, соединяющий центр шара с полюсом полушария в соотношении 3: 5 (т.е. лежит на 3/8 пути от центра до полюса). Центроид полого полушария (то есть половина полой сферы) делит отрезок прямой, соединяющий центр сферы с полюсом полушария пополам.

Центроиды

Простой центроид

Центроид для ACDE

Центроид для ABCD

Центроид для CDEB

A D

Центроид для ABDE

Центроид для многоугольника

Правило четырехугольников Центроид для EABC

Центроиды ( продолжение )

Центроид — центр эллипса,

наиболее близкого по форме к

Центроиды – центры распределения точек

A B

D

G

Центроид — центр масс.

Расчет координат центра масс

Центроид – взвешенный центр масс.

Расчет координат центра масс с учетом весов

Линейные объекты высокого уровня : сети

Соединение Ребро

Прямолинейные Древовидные Контуры

Сети — набор соединенных линейных объектов, вдоль которых возможно движение от одного узла к другому.

Как найти центр многоугольника

Многоугольник — это фигура, которая состоит из трех и более отрезков, соединенных вместе в каждой точке. В геометрии многоугольники очень широко используются, и от них зависят многие важные знания и навыки

Один из самых интересных и важных вопросов при работе с многоугольниками — это определение точки, которая называется центром масс. Центр масс — это точка, которая эквивалентна сумме всех точек, взвешенных по их массе. Это очень важное понятие, которое позволяет вычислять много различных параметров и свойств многоугольника

В этой статье мы рассмотрим несколько простых методов и формул, которые позволят вам легко находить центр масс для любого многоугольника. Вы узнаете о том, как вычислять координаты центра масс, какие существуют приемы и формулы для определения центра масс относительно различных точек и границ, и многое другое. Начнем!

Что такое центр многоугольника?

Центр многоугольника — это точка, в которой пересекаются все оси симметрии многоугольника. Он находится точно в середине фигуры и характеризуется равенством расстояний от него до всех вершин многоугольника.

Более формально, центр многоугольника является точкой пересечения медиан треугольников, образованных вершиной многоугольника и каждой парой ее соседних точек.

Таким образом, центр многоугольника является одной из главных характеристик, описывающих геометрическую форму многоугольника. Нахождение центра многоугольника особенно важно при решении различных задач геометрии, в конструировании и при наложении геометрических фигур друг на друга.

При рассмотрении очень большого многоугольника, вычисление центра может быть трудоемким и сложным математическим процессом. В таких случаях часто используют приближенные методы, которые позволяют найти центр с высокой точностью, но без необходимости решать сложные уравнения.

Чтобы найти центр многоугольника, необходимо знать как минимум координаты его вершин.

Если площадь многоугольника известна, то можно использовать формулу, для вычисления центра.

Методы определения центра многоугольника:

1. Метод точки пересечения медиан. Медианы каждой пары противоположных сторон многоугольника пересекаются в одной точке. Эта точка называется центром тяжести многоугольника. Этот метод является наиболее простым и распространенным методом определения центра многоугольника.

2. Метод вписанной окружности. Вписанная окружность является кругом, который касается всех сторон многоугольника. Центр этой окружности является центром многоугольника. Однако для применения этого метода требуется знание радиуса вписанной окружности.

3. Метод описанной окружности. Описанная окружность является кругом, который проходит через все вершины многоугольника. Центр этой окружности является центром многоугольника. Однако для применения этого метода требуется знание радиуса описанной окружности.

4. Метод площадей треугольников. Для многоугольника можно разделить на треугольники с вершинами в центре. Сумма площадей этих треугольников будет равна площади многоугольника. Центр многоугольника является центром тяжести этих треугольников.

5. Метод средних перпендикуляров сторон. Средние перпендикуляры каждой пары противоположных сторон многоугольника пересекаются в одной точке. Эта точка является центром описанной окружности многоугольника. Этот метод также требует знания радиуса описанной окружности.

Метод центроида или центра тяжести

Метод центроида или центра тяжести – это простой метод для нахождения центра многоугольника. Согласно этому методу, центр многоугольника находится в точке, в которой пересекаются все его диагонали.

Центр многоугольника, найденный с помощью метода центроида, называется точкой центра тяжести. Эта точка является центром масс всех частей многоугольника, то есть если повесить многоугольник за точку центра тяжести, то он будет висеть горизонтально.

Для нахождения точки центра тяжести необходимо соединить все вершины многоугольника диагоналями. После этого необходимо определить точку пересечения всех полученных диагоналей. Эта точка и будет центром тяжести многоугольника.

Данный метод является простым и эффективным способом нахождения центра масс многоугольника. Он также применим для многоугольников любой формы и количества сторон.

Метод определения через пересечение диагоналей

Один из простых способов определения центра многоугольника — это метод через пересечение диагоналей. Он основывается на том, что каждый многоугольник с четным количеством сторон имеет две диагонали, которые пересекаются в центре:

Для нахождения центра многоугольника мы должны найти точку пересечения этих двух диагоналей. Это можно сделать с помощью простой формулы:

Найдите номер вершины многоугольника, не совпадающей с началом и концом первой диагонали;

Из этого номера вычтите количество вершин многоугольника, разделяющих первую диагональ и вторую диагональ, не включая начало и конец первой диагонали;

Найдите точки пересечения двух найденных диагоналей;

Это и будет центр многоугольника.

Эта формула работает только для многоугольников с четным количеством вершин. Если многоугольник имеет нечетное количество вершин, можно использовать другие методы для нахождения центра.

Формула для нахождения координат центра многоугольника

Для нахождения центра многоугольника необходимо найти среднее арифметическое значение координат всех его вершин. Это можно представить в виде двух формул: для нахождения координаты x и координаты y центра многоугольника.

Для нахождения координаты x центра многоугольника можно использовать формулу:

x = (x1 + x2 + … + xn) / n

x1, x2, …, xn — координаты x всех вершин многоугольника

n — количество вершин многоугольника

Аналогично, для нахождения координаты y центра многоугольника используется формула:

y = (y1 + y2 + … + yn) / n

y1, y2, …, yn — координаты y всех вершин многоугольника

n — количество вершин многоугольника

Используя эти формулы, можно легко найти координаты центра многоугольника и использовать их для различных вычислений и задач.

Пример расчета координат центра треугольника с вершинами (3,2), (5,6) и (1,4)

Похожие публикации:

Как в экселе сделать группировку строк

Запуск без отладки visual studio что это

Где купить мед спирт в аптеке

Где расположены серверы gmail