Как вычислить интеграл модуля

Раздел 8. Неопределенный и определенный интегралы (модуль):

Изучение понятий неопределенный и определенный интегралы связано с вычислением для данной функции первообразной: функция F(x) называется первообразной для функцииf(x) на заданном промежутке, если для всехxиз этого промежуткаF´(x)=f(x).

Функция есть первообразная для функциина интервале, так какдля всех.

Основное свойство первообразных (модуль) можно сформулировать так, что любая первообразная для функции f(x) на некотором промежутке [a;b] может быть записана в видеF(x)+c, гдеF(x) – одна из первообразных для функцииf(x) на промежутке [a;b], аc– произвольная постоянная.

Рассмотрим первообразные элементарных функций (модуль) в виде таблицы:

–cosx+c

x n , n≠ –1

sinx+c

n · x n –1

x n +c

Если y=f(x) – непрерывная и неотрицательная функция на отрезке [a;b], аF(x) – её первообразная на этом отрезке, то площадьSсоответствующей криволинейной трапеции равна приращению первообразной на отрезке [a;b], т.е.S=F(b)–F(a).

Интегралом функции y=f(x) отaдоb, т.е.x[a;b] обозначают, т.е.приn∞ (читается как «интеграл отaдоbфункцииf(x) поdx).

Числа aиbназываются пределами интегрирования:

a– нижний предел;

b– верхний предел.

Знак ∫ называют знаком интеграла. Функция y=f(x) называется подинте-гральной функцией, а переменнаяx– переменной интегрирования.

Если f(x)≥0 на отрезке [a;b], то площадьSсоответствующей криволинейной трапеции выражается формулой.

При вычислении определенных интегралов используется формула Ньютона-Лейбница:

,

S– площадь криволинейной трапеции;

– первообразные для функции на отрезке отaдоb;

f(x) – заданная функция;

aиb– пределы интегрирования;

x– переменная интегрирования.

Для удобства записи разность F(b)–F(a) (приращение функции на отрезке) принято сокращенно обозначать так:

Пользуясь этим обозначением, формулу Ньютона-Лейбница можно записать в виде:

Рассмотрим некоторые примеры вычисления определенных интегралов:

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

y=cosx;;;y=0.

Решение.

Ответ:S=1.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

;x=e; x=e 2 ; y=0.

Решение.

.

Ответ: S=1.

Найдите площадь фигуры, ограниченной линиями

y=x 2 ;x=1;x=2;y=0.

Ответ: .

Контрольные работы:

I курс:

Контрольная работа 1.Тема 6.Матричная форма системы уравнений.

1. Вычислить определитель.

2. Найти матрицу обратную к матрице

.

3. Решить матричное уравнение

.

4. Решить систему уравнений с помощью обратной матрицы

5. Решить систему уравнений по формулам Крамера.

6. Решить систему уравнений методом Гаусса.

Контрольная работа 2.Тема 8.Линейная зависимость векторов.

1. Даны векторы .

1) ,

2) ,

3) найти вектор , коллинеарный векторуи удовлетворяющий условию.

2. Даны векторы . Найти векторное произведение, синус угла между ними, площадь параллелограмма, построенного на этих векторах.

3. Вычислить произведение если

4. Найти точку пересечения прямой и плоскости 2x–y+z+1=0.

5. Составить уравнение плоскости, проходящей через точки М₁(2;3;-1) и М₂(1;5;3), перпендикулярно плоскости 3х – у +3z + 15 = 0.

6. При каких значениях C и D прямая лежит в плоскости 2x – y + Cz + D = 0?

Чему равен неопределённый интеграл от модуля?

Если подынтегральную функцию представить в виде |x| = x*sgn(x), где sgn(x) = 1, для x>0 и sgn)x) = -1 для x<0, то тогда этот интеграл легко берётся по частям и, после элементарных преобразований, получится x²sgn(x)/2.

В принципе, не штука и так догадаться. То, что стоит под знаком интеграла, — это по определению есть производная от функции, представленной интегралом. Ясен пень, что чтобы производная выглядела как -х, функция должна быть параболой -x²/2, а чтобы производная выглядела как х, то функция должна быть параболой +x²/2. Вот умножение на sgn(x) и сшивает две этих половинки.

Интеграл от модуля и от параметра

Найти интеграл , где .

F ( x ) = arctg f ( x ) — первообразная,

.

Пример 6

Найти ошибку в вычислениях: .

Интеграл не существует, т. к. функция не ограничена на отрезке [–1; 1] (необходимое условие).

Научный форум dxdy

Определённый интеграл от модуля (правильно ли решено?)

Доброго всем дня, раскладываю функцию в ряд Фурье и при вычислении к сумме (или разности) интегралов по и .

Наверное, вначале нужно модуль не трогать, а просто представить интеграл по в виде суммы двух интегралов от того же самого выражения. А что дальше?

И кстати, Вы понимаете, почему мы разбиваем наш отрезок именно на эти два отрезочка, именно точкой $» />$» />, а не какой-нибудь другой точкой? Что в этой точке такого особенного?