Как определить четность и нечетность числа

Четность и нечетность чисел

· Четные числа — это те, которые делятся на 2 без остатка (например, 2, 4, 6 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K, подобрав подходящее целое K (например, 4 = 2 х 2, 6 = 2 х 3, и т.д.).

· Нечетные числа — это те, которые при делении на 2 дают в остатке 1 (например, 1, 3, 5 и т.п.). Каждое такое число можно записать в виде 2K + 1, подобрав подходящее целое K (например, 3 = 2 х 1 + 1, 5 = 2 х 2 + 1, и т.д.).

Сложение и вычитание:

Ч ётное ± Чётное = Чётное
Ч ётное ± Нечётное = Нечётное
Н ечётное ± Чётное = Нечётное
Н ечётное ± Нечётное = Чётное

Ч ётное × Чётное = Чётное
Ч ётное × Нечётное = Чётное
Н ечётное × Нечётное = Нечётное

Ч ётное / Чётное — однозначно судить о чётности результата невозможно (если результат целое число , то оно может быть как чётным, так и нечётным)
Ч ётное / Нечётное -— если результат целое число , то оно Чётное
Н ечётное / Чётное — результат не может быть целым числом, а соответственно обладать атрибутами чётности
Н ечётное / Нечётное —если результат целое число , то оно Нечётное

Сумма любого числа четных чисел – четно.

Сумма нечетного числа нечетных чисел – нечетно.

Сумма четного числа нечетных чисел – четно.

Разность двух чисел имеет ту же четность, что и их сумма .
(напр. 2+3=5 и 2-3=-1 оба нечетные)

Алгебраическая (со знаками + или -) сумма целых чисел имеет ту же четность, что и их сумма .
(напр. 2-7+(-4)-(-3)=-6 и 2+7+(-4)+(-3)=2 оба четны)

Идея четности имеет много разных применений. Самые простые из них:

1. Если в некоторой замкнутой цепочке чередуются объекты двух видов, то их четное число (и каждого вида поровну).

2. Если в некоторой цепочке чередуются объекты двух видов, а начало и конец цепочки разных видов, то в ней четное число объектов, если начало и конец одного вида, то нечетное число. (четное число объектов соответствует нечетному числу переходов между ними и наоборот . )

2′. Если у объекта чередуются два возможных состояния, а исходное и конечное состояния различны , то периодов пребывания объекта в том или ином состоянии — четное число, если исходное и конечное состояния совпадают — то нечетное . (переформулировка п.2)

3. Обратно: по четности длины чередующийся цепочке можно узнать, одного или разных видов ее начало и конец.

3′. Обратно: по числу периодов пребывания объекта в одном из двух возможных чередующихся состояний можно узнать, совпадает ли начальное состояние с конечным. (переформулировка п.3)

4. Если предметы можно разбить на пары, то их количество четно.

5. Если нечетное число предметов почему-то удалось разбить на пары, то какой-то из них будет парой к самому себе, причем такой предмет может быть не один (но их всегда нечетное число).

(!) Все эти соображения можно на олимпиаде вставлять в текст решения задачи, как очевидные утверждения.

Задача 1. На плоскости расположено 9 шестеренок, соединенных по цепочке (первая со второй, вторая с третьей . 9-я с первой). Могут ли они вращаться одновременно?

Решение: Нет, не могут. Если бы они могли вращаться, то в замкнутой цепочке чередовалось бы два вида шестеренок: вращающиеся по часовой стрелке и против часовой стрелки (для решения задачи не имеет никакого значения, в каком именно направлении вращается первая шестеренка !) Тогда всего должно быть четное число шестеренок, а их 9 штук?! ч.и.т.д. (знак «?!» обозначает получение противоречия)

Задача 2. В ряд выписаны числа от 1 до 10. Можно ли расставить между ними знаки + и -, чтобы получилось выражение, равное нулю?
Решение: Нет, нельзя. Четность полученного выражения всегда будет совпадать с четностью суммы 1+2+. +10=55, т.е. сумма всегда будет нечетной . А 0 — четное число?! ч.т.д.

Определить чётное или нечётное число

Чётным является целое число, которое делится на 2 без остатка (нацело).

Все многозначные числа, оканчивающиеся на 0,2,4,6 или 8, являются чётными числами:

10 , 12, 134, 2786, 6389246858 и др.

Примеры

Чётное ли число 10?

Десять разделилось на два без остатка, следовательно 10 является чётным числом.

Чётное ли число 1?

После деления единицы на два мы получаем нецелое число, следовательно 1 не является чётным числом.

Чётность нуля

Чётное ли число 0?

Ноль чётное число, так как оно делится на два без остатка: 0 ÷ 2 = 0

В числовом ряду с обоих сторон от чётного числа стоят нечётные числа, и ноль тут не исключение, так как -1 это нечётное число:

-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

Нечётные числа

Нечетным является целое число, которое не делится на 2 без остатка.

Все многозначные числа, оканчивающиеся на 1,3,5,7 или 9, являются нечётными числами:

11 , 113, 1245, 43547, 63563469 и др.

Пример

Для примера рассмотрим число 67. Так как оно заканчивается цифрой 7 (нечётной), уже можно утверждать, что оно нечётное. Для пущей уверенности разделим 67 на два:

67 ÷ 2 = 33.5, то есть 33 и остаток 1 (67 = 33 ⋅ 2 + 1)

Окончательно делаем вывод, что число 67 является нечётным числом.

Сколько чётных и нечётных чисел в ряду

Сколько чётных и нечётных чисел находится в ряду между n и m?

Если n и m разные по чётности

Если n и m разные по чётности числа, то есть одно из них четное, а второе нечётное, то количество чётных и нечётных чисел в ряду одинаковое:

Кол _{чёт/нечёт} = (m — n +1) ÷ 2 , m > n

Пример

Возьмём ряд чисел между n = 22 и m = 31:

22, 23, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31

Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.

Так как 22 и 31 являются числами разной чётности делаем вывод, что чётных и нечётных чисел в данном ряду поровну:

Кол _{чёт/нечёт} = (31 — 22 + 1) / 2 = 10 / 2 = 5

5 чётных и 5 нечётных

22	24	26	28	30
23	25	27	29	31

Если n и m чётные

Если n и m чётные числа, то чётных чисел в ряду будет на одно больше, чем нечётных:

Кол _чёт = (m — n) ÷ 2 + 1 , m > n

Кол _нечёт = (m — n) ÷ 2 , m > n

Пример

Возьмём ряд чисел между n = 10 и m = 20:

10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20

Определим количество чётных и нечётных чисел в этом ряду.

Кол _чёт = (20 — 10) ÷ 2 + 1 = 6

Кол _нечёт = (20 — 10) ÷ 2 = 5

6 чётных и 5 нечётных

10	12	14	16	18	20
11	13	15	17	19

Если n и m нечётные

Если n и m нечётные числа, то чётных чисел в ряду будет на одно меньше, чем нечётных:

Какие числа четные, а какие нечетные?

Если смотреть из центра города, то дома, которые по левой стороне улицы — нечетные, а по правой — четные. Нумерация домов, как правило, идет от центра города.

На английском языке нечетные числа — ‘odd’. Odd — это также "непарный", "странный", "случайный", "чуждый".

Мнемонически удобно сравнить нечетные числа с "левым" направлением, а четные с "правым". Солдаты, когда маршируют, на счет "раз" шагают левой ногой, на "два" — правой.

Теперь дам строгое математическое определение: четные числа — это целые числа, которые делятся на 2 без остатка. То есть: . -4, -2, 0, 2, 4, .

Соответственно, нечетные числа — это целые числа, которые на 2 без остатка не делятся.

Этимология слова "чётный" восходит к древне-русскому "чета" — "отряд, община, толпа, полчище, сообщники" и старо-славянскому "съчетати" — "сочетать, соединять". Позднее "чета" употреблялось в значении "пара", "дружка", "двоица". Соответственно: "четный" — "парный", "нечетный" — "непарный".

Четные и нечетные числа

Делить или не делить — вот в чем вопрос. В этой статье разберем, что такое четные числа, чем они отличаются от нечетных и зачем вообще нам это знать.

24 декабря 2020

· Обновлено 29 июля 2023

Стремление человека делить и половинить сопровождает его всю жизнь. Нас хлебом не корми, дай поделить на два.

Прежде чем разобраться, зачем и почему мы это делаем, давайте познакомимся с определениями.

Четное число — это число, которое делится нацело на 2.

Наглядный пример четного числа

4 : 2 = 2
Это значит, что 4 — четное число.

Нечетное число — это число, которое не делится на 2 без остатка.

Наглядный пример нечетного числа

5 не делится на 2 без остатка — значит, 5 это нечетное число.

Если число оканчивается на 0, 2, 4, 6, 8, то это число четное.

Если число оканчивается на 1, 3, 5, 7, 9, то это число нечетное.

Если двузначное число круглое, то это число четное. Например, 20, 30, 40, 50 и т. д. — четные числа.

Устройте ребёнку лучшее лето

Свойства четных и нечетных чисел

Если сложить два четных числа, получится четное число:
8 + 8 = 16
16 : 2 = 8
Если сложить два нечетных числа, получится четное число:
3 + 3 = 6
6 : 2 = 3
Если сложить четное число с нечетным, получится нечетное число:
4 + 5 = 9
9 : 2 = 4 (остаток 1)
Если четное число умножить на четное число, получится четное число:
2 × 2 = 4
4 : 2 = 2
Если четное число умножить на нечетное число, получится четное число:
4 × 3 = 12
12 : 2 = 6
Если нечетное число умножить на нечетное, получится нечетное:
3 × 3 = 9

Четные и нечетные числа чередуются друг с другом

1 — нечетное,
2 — четное,
3 — нечетное,
4 — четное,
5 — нечетное,
6 — четное,
7 — нечетное,
8 — четное,
9 — нечетное.

Внимательно рассмотрите таблицу четных и нечетных чисел. На ней хорошо видно, как они чередуются между собой.

1	11	21	31	41	51	61	71	81	91
2	12	22	32	42	52	62	72	82	92
3	13	23	33	43	53	63	73	83	93
4	14	24	34	44	54	64	74	84	94
5	15	25	35	45	55	65	75	85	95
6	16	26	36	46	56	66	76	86	96
7	17	27	37	47	57	67	77	87	97
8	18	28	38	48	58	68	78	88	98
9	19	29	39	49	59	69	79	89	99
10	20	30	40	50	60	70	80	90	100

Умение быстро определять четность и нечетность поможет в решении примеров, особенно, когда нужно посчитать в уме. Вот шпаргалка — держите ее под рукой, чтобы быстро ориентироваться в цифрах и числах.

Цифры: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Однозначные числа: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Натуральные числа: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13.
Четные числа: 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, 26.
Нечетные числа: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, 25.
Круглые числа: 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100, 110, 120.

Онлайн-курсы по математике для детей помогут быстрее освоить новую тему при поддержке опытного преподавателя.

Домашний лицей для 5–11 классов

Задачи для практики

Давайте проверим, как хорошо вы научились определять четность и нечетность. Выполним несколько несложных заданий.

Задачка 1. Назовите числа, которые спрятаны за ♥. Назовите их по порядку. Какие из них — четные, а какие — нечетные?

1	♥	17
2	10	♥
♥	11	19
4	♥	20
5	13	♥
♥	14	22
7	15	23
8	♥	♥

Ответ: 3 — нечетное, 6 — четное, 9 — нечетное, 12 — четное, 16 — четное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.

Задачка 2. Вставьте в таблицу пропущенные числа. Определите, четное или нечетное получилось число.

X	2	4	6	8	10
X × 2
X : 2

X	2	4	6	8	10
X × 2	4	8	12	16	20
X : 2	1	2	3	4	5

2 × 2 = 4 — четное
2 : 2 = 1 — нечетное
4 × 2 = 8 — четное
4 : 2 = 2 — четное
6 × 2 = 12 — четное
6 : 2 = 3 — нечетное
8 × 2 = 16 — четное
8 : 2 = 4 — нечетное
10 × 2 = 20 — четное
10 : 2 = 5 — нечетное

Задачка 3. В коробке 44 конфеты: 15 шоколадных и 12 — с карамелью. А все остальные с воздушным рисом. Сколько в коробке конфет с воздушным рисом? Получившееся значение — четное или нечетное?

Посчитаем, сколько в сумме конфет шоколадных и с карамелью:
15 + 12 = 27 (к)

Отнимем от общего количества конфет получившееся число:
44 — 27 = 17 (к)

Ответ: в коробке 17 конфет с воздушным рисом. 17 — нечетное число.

Задачка 4. В инстаграме у Маши четное количество фотографий. Она добавила еще пять фотографий. Теперь фотографий 51. Сколько у Маши изначально было фотографий?

51 — 5 = 46 (ф)
46 — четное число.

Ответ: изначально у Маши в инстаграме было 46 фотографий.

Задачка 5. Назовите числа, закрытые ☆. Распределите их по четности и нечетности. Сложите их и назовите получившееся значение.

1	☆	3	☆	5
6	☆	☆	9	10
☆	12	13	☆	15
16	☆	☆	19	20
☆	22	23	☆	25

Ответ:
2 — четное, 4 — четное, 7 — нечетное, 8 — четное, 11 — нечетное, 14 — четное, 17 — нечетное, 18 — четное, 21 — нечетное, 24 — четное.

Складываем сначала четные: 2 + 4 + 8 + 14 + 18 + 24 = 70

Затем складываем нечетные: 7 + 11 + 17 + 21 = 56
70 + 56 = 126
Число 126 оканчивается на четную цифру 6. Значит, число 126 — четное.

Как определить четность и нечетность числа