Что такое аналитическая функция

АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ

АНАЛИТИ́ЧЕСКАЯ ФУ́НКЦИЯ, функ­ция, ко­то­рая мо­жет быть пред­став­ле­на сте­пен­ны­ми ря­да­ми. Ис­клю­чи­тель­ная важ­ность клас­са А. ф. оп­ре­де­ля­ет­ся сле­дую­щим. Во-пер­вых, этот класс дос­та­точ­но ши­рок: он ох­ва­ты­ва­ет боль­шин­ст­во функ­ций, встре­чаю­щих­ся в осн. раз­де­лах ма­те­ма­ти­ки и её при­ло­же­ни­ях в ес­те­ст­во­зна­нии и тех­ни­ке. Ана­ли­ти­че­ски­ми яв­ля­ют­ся эле­мен­тар­ные функ­ции – мно­го­чле­ны, ра­цио­наль­ные функ­ции, по­ка­за­тель­ные и ло­га­риф­ми­че­ские, сте­пен­ные, три­го­но­мет­ри­че­ские и об­рат­ные три­го­но­мет­ри­че­ские, ги­пер­бо­ли­че­ские и об­рат­ные ги­пер­бо­ли­че­ские функ­ции, а так­же ал­геб­раи­че­ские функ­ции и спе­ци­аль­ные функ­ции (эл­лип­ти­че­ские, ци­лин­д­ри­че­ские и др.). Во-вто­рых, класс А. ф. замк­нут от­но­си­тель­но осн. опе­ра­ций ариф­ме­ти­ки, ал­геб­ры и ана­ли­за: при­ме­не­ние ариф­ме­тич. дей­ст­вий к функ­ци­ям это­го клас­са, ре­ше­ние ал­геб­ра­ич. урав­не­ний с ана­ли­тич. ко­эф­фи­ци­ен­та­ми, диф­фе­рен­ци­ро­ва­ние и ин­тег­ри­ро­ва­ние А. ф. сно­ва при­во­дят к А. ф. На­ко­нец, А. ф. об­ла­да­ют свой­ст­вом един­ст­вен­но­сти: ка­ж­дая А. ф. об­ра­зу­ет «ор­га­ни­че­ски свя­зан­ное це­лое», пред­став­ля­ет со­бой «еди­ную» функ­цию во всей сво­ей ес­те­ст­вен­ной об­лас­ти су­ще­ст­во­ва­ния. Это свой­ст­во, ко­то­рое в 19 в. счи­та­лось не­от­де­ли­мым от са­мо­го по­ня­тия функ­ции , при­об­ре­ло прин­ци­пи­аль­ное зна­че­ние по­сле то­го, как в 19 в. ус­та­но­ви­лась об­щая точ­ка зре­ния на функ­цию как на про­из­воль­ное со­от­вет­ст­вие.

3. Понятие аналитической функции

Определение. Функция f(z) называется аналитической (голоморфной, регулярной, правильной) в точке , если она дифференцируема в каждой точке некоторой окрестности точки .

Заметим, что необходимо различать понятие дифференцируемости в точке и понятие аналитичности в точке:

f(z) дифференцируема в точке ,

f(z) аналитическая в точке

Определение. Функция f(z) называется аналитической в области G, если она дифференцируема в каждой точке этой области. Т.е. понятия дифференцируемости и аналитичности в области совпадают.

1) — аналитическая на .

2) аналитическая на .

3) аналитическая на .

4) нигде не является аналитической, так производная существует только в точке (см. пример 2 п.2).

4. Гармонические функции

Определение. Дифференциальное уравнение с частными производными второго порядка называется уравнением Лапласа.

Обозначим тогда -краткая запись уравнения Лапласа.

Определение. Действительная функция двух действительных переменных называется гармонической на области G, если она имеет непрерывные частные производные второго порядка и на G удовлетворяет уравнению Лапласа.

Определение. Две гармонические функции, связанные условиями Коши – Римана, называются сопряжёнными гармоническими функциями.

Позже будет доказано, что производная аналитической функции сама является аналитической функцией. Используем этот факт при доказательстве следующей теоремы.

Теорема 5. Для того чтобы функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) была аналитической в области G необходимо и достаточно, чтобы её действительная и мнимая часть были сопряжёнными гармоническими функциями.

1) Пусть f(z)=u(x,y)+iv(x,y) аналитическая в некоторой области G. Тогда по теореме 2 u(x,y) и v(x,y)-дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана:

Производная может быть представлена в одном из видов:

Так как производная аналитической функции является аналитической функцией, то и тоже дифференцируемые функции двух действительных переменных и удовлетворяют условиям Коши – Римана.

Применим к паре функций и первое условие Коши– Римана, а для функций и — второе:

т.е. u и v удовлетворяют уравнению Лапласа.

Покажем, что u(x,y) и v(x,y) имеют непрерывные частные производные второго порядка. Т.к. f(z) — аналитическая функция, то -тоже аналитическая функция.

Дифференцируя по x, получим .

Дифференцируя по y, получим ,

т.е. является аналитической функцией и может быть представлена в одном из видов:

Значит, все частные производные второго порядка являются (по теореме 2) дифференцируемыми в области G функциями, следовательно, они непрерывны.

Итак, u(x,y) и v(x,y) имеют в G непрерывные частные производные второго порядка, удовлетворяют уравнению Лапласа и условиям Коши – Римана. Значит, они являются сопряжёнными гармоническими функциями.

2. Пусть u(x,y) и v(x,y) какие – либо сопряжённые гармонические в области G функции. Так как они дифференцируемы и удовлетворяют условиям Коши – Римана, то по теореме 2 функция f(z)=u(x,y)+iv(x,y) является дифференцируемой в G и, следовательно, она аналитическая в G. .

Из теоремы 5 следует, что действительной или мнимой частью аналитической функции может быть только гармоническая функция.

Например, не существует аналитической функции f(z), у которой Действительно, функция не является гармонической ни в какой области G.

. Следовательно, только на прямой (не является областью). Значит, u(x,y) не является гармонической ни в какой области G из .

Аналитическая функция

Аналитическая функция (действительного переменного) — функция, которая совпадает со своим рядом Тейлора в окрестности любой точки области определения.

Однозначная функция f называется аналитической в точке z₀, если сужение функции f на некоторую окрестность z₀ является аналитической функцией. Если функция аналитична в точке z₀ то она аналитическая в каждой точке некоторой окрестности точки z₀.

В курсе комплексного анализа доказывается эквивалентность трех определений.

Аналитическая функция ТФКП

Фундаментальным понятием в теории функций комплексного переменного является понятие аналитической функции.

Однозначная функция называется аналитической (голоморфной) в точке , если она дифференцируема (выполнены условия Эйлера-Даламбера) в некоторой окрестности этой точки. Функция называется аналитической в области , если она дифференцируема в каждой точке .

Как видно из этого определения, условие аналитичности в точке не совпадает с условием дифференцируемости функции в этой же точке (первое условие — более сильное).

Точки плоскости , в которых однозначная функция аналитична, называются правильными точками . Точки, в которых функция не является аналитической, называются особыми точками этой функции.

Пусть функция аналитична в точке . Тогда . Отсюда следует, что , где при . Тогда приращение функции можно записать так: . Если , то первое слагаемое является при бесконечно малой того же порядка, что и ; второе слагаемое ; есть бесконечно малая более высокого порядка, чем . Следовательно, первое слагаемое составляет главную часть приращения функции .

Дифференциалом аналитической функции в точке называется главная часть ее приращения, т. е. , или (так как при будет ). Отсюда следует, что , т. е. производная функции равна отношению дифференциала функции к дифференциалу независимого переменного.

Замечание. Если функция аналитична в некоторой области , то функции и удовлетворяют дифференциальному уравнению Лапласа (, см. п. 72.2).

Действительно, дифференцируя первое из равенств Эйлера-Даламбера по , а второе по , получаем:

откуда .

Функции и являются гармоническими функциями.

Пример №74.3.

Проверить, является ли функция аналитической. Найти ее производную.

Решение:

Находим действительную и мнимую части функции:

Таким образом, . Проверяем условия Эйлера-Даламбера (74.5):

Условия (74.5) выполняются во всех точках комплексной плоскости . Функция дифференцируема, следовательно, аналитична во всех точках этой плоскости. Ее производную найдем по одной из формул (74.6), например по первой:

т. е. .

Заметим, что производную функции можно найти, воспользовавшись определением производной (74.4):

Пример №74.4.

Найти аналитическую функцию по ее заданной действительной части .

Решение:

Отметим, что функция и является гармонической функцией (, следовательно, ).

Для определения мнимой части воспользуемся условиями Эйлера-Даламбера (74.5). Так как ,
то, согласно первому условию, . Отсюда, интегрируя по , находим:

Для определения функции воспользуемся вторым условием Эйлера Даламбера. Так как

то . Отсюда и , где . Поэтому . Находим функцию :

На этой странице размещён полный курс лекций с примерами решения по всем разделам высшей математики:

Другие темы по высшей математике возможно вам они будут полезны:

Образовательный сайт для студентов и школьников

Копирование материалов сайта возможно только с указанием активной ссылки «www.lfirmal.com» в качестве источника.

© Фирмаль Людмила Анатольевна — официальный сайт преподавателя математического факультета Дальневосточного государственного физико-технического института