Как избавиться от минуса в уравнении

Модуль

Модуль числа — это великая математическая мудрость, которая показывает дружбу и соперничество противоположных знаков: минуса и плюса. О том, что держит число в рамках, узнаем в статье.

Модуль

Мы легко можем найти расстояние от точки до точки, достаточно просто измерить его линейкой. Но можно ли найти расстояние от 0 до любого числа?

Представим, что наш дом находится посередине между школой и магазином. И до школы, и до магазина 500 метров, но они стоят по разные стороны от дома.

Расположим их на координатной прямой. Поскольку и школа, и магазин располагаются на одинаковом расстоянии, то от дома до них мы будем идти 500 метров. Но на координатной прямой до школы мы пройдем −500 метров, поскольку движемся против направления оси, а до магазина 500 метров.

Будет ли являться полученный результат противоречием? Нет, поскольку когда мы ищем расстояние, нам неважно направление движения и знак. В математике существует специальное определение — это модуль, или абсолютная величина.

Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат.

Поскольку на координатной прямой мы можем отложить расстояние в две стороны, то такое расстояние можно найти и с отрицательными точками, и с положительными. Расстояние измеряет длину отрезка, то есть оно всегда будет положительно.

Можно сказать, что от любого числа модуль берет только цифры, а на знаки не обращает внимания. Например, |−8| = 8 и |8| = 8.

Может возникнуть вопрос: куда исчезает минус? Чтобы избавиться от минуса, достаточно умножить число на −1: (-8) * (-1) = 8. Значит, модуль просто умножает число на -1.

Отсюда получается, что модулем числа а называют выражение:

Возьмем два случая: a = 8 и a = -8. Для первого получаем |8| = 8, а для второго |-8| = -(-8) = 8, то есть определение выполняется.

Можно ли взять модуль функции? Да. Модулем произвольной функции называют выражение:

Свойства модуля

Модуль, как и все понятия в математике, обладает своими свойствами.

Свойство 1. |a| >= 0.

Как мы уже говорили, модуль всегда будет положительным числом, поскольку он не обращает внимания на знак числа.

Свойство 2. |a| = |-a|.

Это свойство также подтверждает рассуждения выше. Модули противоположных чисел, то есть чисел с разными знаками, равны.

Свойство 3. |a| >= a.

Если число а будет положительным, например, 5, то неравенство |5| >= 5 $\rightarrow$ 5 >= 5 выполняется, поскольку знак неравенства нестрогий.

Если число а будет отрицательным, например, -5, то неравенство |-5| >= -5 $\rightarrow$ 5 >= -5 выполняется, поскольку положительное число всегда больше отрицательного.

Свойство 4. |a * b| = |a| * |b|.

Пусть a = 5, b = -2, тогда |5 * (-2) | = |-10| = 10, и |5| * |-2| = 5 * 2 = 10, то есть выражения равны между собой.

Рассуждения такие же, как и в предыдущем свойстве. Пусть a = 10, b = -5, тогда $|\frac<10><(-5)>| = |-2| = 2 и \frac<|10|> <|-5|>= \frac<10> <5>= 2$.

Свойство 6. |a + b| <= |a| + |b|.

Почему появилось неравенство, а не уравнение, как в предыдущих двух свойствах? Разберем два примера.

Пусть a = 1, b = 2, тогда |1 + 2| = |3| = 3 и |1| + |2| = 1 + 2 = 3 — неравенство выполняется, поскольку знак нестрогий.

Но если a = -1, b = 2, тогда |-1 +2| = |1| = 1 и |-1| + |2| = 1 + 2 = 3, откуда получаем 1 < 3.

Свойство 7. $\sqrt = |a|$.

Докажем это свойство. Пусть $\sqrt = x$, тогда x₀, поскольку квадратный «Корень» не может быть отрицательным. Возведем полученное уравнение в квадрат: a 2 = x 2
a 2 — x 2 = 0
(a — x)(a + x) = 0

Из уравнения x = a, из-за ограничений на x получаем a >= 0.

И x = -a, из-за ограничений на x получаем a < 0.

То есть получается выражение модуля.

Свойство 8. |a| 2 = a 2 .

Поскольку и модуль, и квадрат числа дают положительный результат, модуль в квадрате можно заменить просто квадратом числа.

График модуля

Как изобразить функцию с модулем? Для начала разберемся, что делает модуль с графиком функции.

Рассмотрим функцию y = x — это прямая. При этом у может быть и положительным, и отрицательным.

Занесем х под знак модуля: y = |x|. Теперь у может быть только положительным. Что происходит с частью графика, которая лежит ниже оси х? Она зеркально отражается. В итоге мы получаем галочку:

Модуль отражает любой график относительно оси х.

Что будет, если перед х будет стоять коэффициент? Построим графики:

Галочка будет сужаться и расширяться. Причем чем больше коэффициент перед х, тем ýже будет галочка.

Попробуем добавить слагаемое к подмодульному выражению.

График модуля будет двигаться вдоль оси х. Причем:

если мы прибавляем число, то график сдвигается влево;
если мы вычитаем число, то график сдвигается вправо.

Добавим число к модулю, а не подмодульному выражению:

График будет двигаться вдоль оси у.

Для этого достаточно добавить перед модулем минус. Важно, чтобы минус стоял именно перед модулем, а не внутри него. Тогда график будет отзеркален относительно оси х и лежать только ниже нее.

Уравнения с модулем

1. Возьмем уравнение вида |f(x)| = a. Поскольку модуль не может быть отрицательным, то и а не может быть отрицательным. Получаем следующий переход:

Пример 1. Решите уравнение |4x + 5| = 7.

Решение. В уравнении f(x) = 4x + 5, a = 7. Воспользуемся переходом:

Из первого уравнения x = 0,5, а из второго уравнения x = -3.

Ответ: 0,5: -3.

2. В уравнениях и неравенствах можно встретить два разных модуля. Как быть в этом случае?

Шаг 1. Находим нули подмодульных выражений.

Шаг 2. Чертим числовую прямую и ищем знаки на промежутках для каждого модуля. Если подмодульное выражение отрицательно на промежутке, то ставится минус, если положительно — ставится плюс.

Шаг 3. Для каждого промежутка раскрываем модули. Если подмодульное выражение на промежутке отрицательно, то модуль раскрывается со знаком минус. Если положительно — модуль раскрывается со знаком плюс. Важно: полученные корни должны принадлежать промежуткам, на которых раскрывается модуль, иначе они не будут решениями уравнения.

Пример 2. Решите уравнение |x — 2| — |x + 2| = 4x — 5.

Решение. Найдем, в каких точках модули будут равны 0. Для этого подмодульное выражение также должно быть равно 0:

x — 2 = 0 $\rightarrow$ x = 2
x + 2 = 0 $\rightarrow$ x = -2

Нарисуем числовую прямую с этими точками:

У нас получилось три промежутка:

(-$\infty$;-2)
[-2;2)
[2;+$\infty$)

Обратим внимание, какие знаки имеет первый модуль на промежутках: x — 2 > 0 при x > 2. Следовательно, на первых двух промежутках модуль будет отрицательным, а на третьем положительным. Расставим его знаки красным цветом.

Проанализируем второй модуль: x + 2 > 0 $\rightarrow$ x>-2. Получается, подмодульное выражение будет положительно на втором и третьем промежутке, и отрицательным на первом промежутке. Расставим его знаки синим цветом.

Теперь мы можем рассмотреть уравнение на всех трех промежутках. Однако для этого обязательно ввести ограничения: полученные точки должны принадлежать только этому промежутку, поскольку на следующем модули будут раскрываться уже по-другому.

2. Рассмотрим первый промежуток: x<-2. Оба модуля раскрываются с отрицательным знаком, и мы получаем следующее уравнение:

-(x — 2) — (-(x + 2)) = 4x — 5
-x + 2 + x + 2 = 4x — 5
4 = 4x — 5
4x = 9
x = 2,25

Точка не удовлетворяет ограничению, поскольку не лежит в промежутке (-$\infty$;-2):

Рассмотрим второй промежуток: [-2;2). Первый модуль раскрывается с минусом, а второй с плюсом:

Эта точка лежит в заданном промежутке и является решением уравнения.

Рассмотрим третий промежуток [2;+$\infty$). Оба модуля раскрываются со знаком плюс, мы получаем уравнение:

x = 0,25 — эта точка не лежит в промежутке, то есть не является решением уравнения.

Решением уравнения будет только $x = \frac<5><6>$.

Ответ: $\frac<5><6>$

Разбивая прямую на промежутки, может возникнуть вопрос: а что делать с точками, в которых модуль равен 0? Их обязательно нужно проверять. Можно сделать это как отдельно, подставив точки в уравнение, так и сразу включить их в условие раскрытия модуля.

3. Уравнения вида |f(x)| = g(x)

Поскольку вместо функций могут стоять любые выражения, раскрыть модуль можно двумя способами. Выбор одного из них зависит от того, какая функция проще: f(x) или g(x).

Как можно раскрыть модуль?

Можно раскрыть его в зависимости от знаков подмодульного выражения: если подмодульное выражение отрицательное, то модуль раскрывается с минусом, если положительное, то с плюсом.
Можно возвести уравнение в квадрат. Но здесь необходимо ввести ограничения на g(x) — поскольку функция равна модулю, она не может быть отрицательной.

Для удобства можно пользоваться следующей схемой:

Пример 3. Решите уравнение |8 — x| = x 2 — 5x + 11.

Решение. Заметим, что подмодульное выражение значительно проще функции справа, в этом случае удобнее будет раскрыть модуль. Получаем совокупность двух систем:

Рассмотрим первую систему.

8 — x >= 0 $\rightarrow$ x <= 8

Оба корня уравнения удовлетворяют условию x <= 8, значит, решением системы будут 1 и 3.

Рассмотрим вторую систему.

8 — x < 0 $\rightarrow$ x > 8

8 — x = -x 2 + 5x — 11
x 2 — 6x + 19 = 0
D = 36 — 76 = -40 — при отрицательном дискриминанте решения уравнений нет.

Решением всего уравнения будут x = 1 и x = 3.

Ответ: 1, 3

4. Разберем еще один тип уравнений, когда модуль равен модулю. Неужели придется рассматривать целых 4 случая раскрытия модуля? Нет, достаточно будет возвести в квадрат обе части уравнения. Таким образом, мы получаем следующий переход:

Пример 4. Решите уравнение |x — 2| = |2x + 8|.

Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат. Для этого воспользуемся свойством 8.

(x — 2) 2 = (2x + 8) 2
(x — 2) 2 — (2x + 8) 2 = 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

Если произведение множителей равно 0, то каждый множитель равен 0. Тогда:

x — 2 — (2x + 8) = 0 $\rightarrow$ x — 2 = 2x + 8
x — 2 + (2x + 8) = 0 $\rightarrow$ x — 2 = -(2x + 8)

Решим первое уравнение совокупности:

x — 2 = 2x + 8
x = -10

Решим второе уравнение совокупности:

Решением уравнения будут x = -10 и x = -2

Ответ: -2, -10

Неравенства с модулем

Разобравшись, как решаются уравнения с модулем, можно приступать к неравенствам.

Пример 5. Решите неравенство x 2 — |3x — 7| + 7 >= 0.

Решение. Найдем, при каких значениях х модуль равен 0. Получаем 3x = 7 $\rightarrow$ $x = \frac<7><3>$.

Определим, с какими знаками модуль будет раскрываться на каждом промежутке.

Осталось рассмотреть неравенство на двух промежутках.

1. $x \leq \frac<7><3>$, тогда
x 2 — (-(3x — 7)) + 7 >= 0
x 2 + 3x — 7 + 7 >= 0
x 2 + 3x >= 0
x(x + 3) >= 0

Решим это неравенство «Методом интервалов». Сразу учтем ограничение $x \leq \frac<7><3>$.

Получаем, что решением неравенства на заданном промежутке будет $x \in (-\infty; -3] U[0; \frac<7><3>]$.

2. $x > \frac<7><3>$, тогда
x 2 — 3x + 7 + 7 >= 0
x 2 — 3x + 14 >= 0
x 2 — 3x + 14 = 0
D = 9 — 56 = -47 — корней на заданном отрезке не будет.

Вспомним, что корни квадратного уравнения — это точки пересечения параболы и оси х. Если парабола не пересекает ось х, то неизбежно лежит выше или ниже ее. Поскольку в нашем случае ветви параболы направлены вверх, мы можем нарисовать ее примерный график.

Однако не стоит забывать про ограничение $x > \frac<7><3>$. Накладывая его, получаем решение $(\frac<7><3>; + \infty)$.

Осталось только объединить полученные на промежутках решения:

Получаем, что $x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)$

Рассмотрим неравенства вида |f(x)| > a и |f(x)| < a, где а — некоторое число и a >= 0. Модуль можно раскрыть двумя способами и получить два неравенства. Но будет это совокупность или система?

Это зависит от знака. Разберем случай |f(x)| > a. Заметим, что строгость знака может быть любой. Тогда модуль раскрывается как:

f(x) > a и -f(x) > a $\rightarrow$ f(x) < -a.

Отметим эти промежутки на числовой прямой:

В ответе должны оказаться оба промежутка — их нужно объединить. В этом случае модуль раскрывается в совокупности.

Рассмотрим случай |f(x)| < a, здесь строгость знака также может быть любой. Раскроем модуль: f(x) < 0 и -f(x) < a $\rightarrow$ f(x) > -a. На числовой прямой это будет выглядеть следующим образом:

В в ответе должен оказаться промежуток от —а до а. Следовательно, необходимо воспользоваться системой, чтобы “отсечь” лишние промежутки.

Можно ли обойтись в этом случае без раскрытия модуля? Да, но необходимо возвести неравенство в квадрат.

|f(x)| ⋁ a | $\uparrow$ 2 — вместо ⋁ может стоять любой знак неравенства.
f 2 (x) ⋁ a 2
f 2 (x) — a 2 ⋁ 0

Воспользуемся формулой сокращенного умножения:

Однако стоит помнить, что обе части неравенства можно возвести в квадрат только в том случае, если они неотрицательны. То есть обязательно должно выполняться условие a0.

Мы получили равносильный переход. Но существуют ли равносильные переходы, если вместо числа а стоит другая функция или даже модуль? Да. Они выводятся таким же способом, как и переход для неравенства с числом. Получаем еще два равносильных перехода:

|f(x)| ⋁ g(x) $\rightarrow$ (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

g(x) обязательно должно быть неотрицательным, чтобы можно было возвести неравенства в квадрат.

|f(x)| ⋁ |g(x)| $\rightarrow$ (f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

Разберем на примере, как можно использовать равносильный переход. Для этого возьмем то же неравенство, что и в примере 5, но решим его по-другому.

Пример 6. Решите неравенство x 2 — |3x — 7| + 7 >= 0.

Решение. Перенесем модуль в другую часть неравенства:

|3x — 7| <= x 2 + 7. Модуль всегда неотрицателен. Правая часть неравенства неотрицательна, поскольку число в квадрате всегда положительно.

Повторим действия, чтобы прийти к равносильному переходу:

(3x — 7) 2 <= (x 2 +7) 2
(3x-7) 2 — (x 2 + 7) 2 <= 0
(3x — 7 — (x 2 + 7))(3x — 7 + x 2 + 7) <= 0
(3x — 7 — x 2 — 7)(3x + x 2 ) <= 0
(-x 2 + 3x — 14) * x(3 + x) <= 0
-(x 2 — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0
(x 2 — 3x + 14) * x(3 + x) <= 0

Рассмотрим первую скобку:

D = 9 — 56 = -47 — корней нет. Выражение всегда будет положительно, то есть на него можно разделить все неравенство. Получаем:

Тогда $x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)$

Ответ: $x \in (-\infty;- 3] U [0; +\infty)$

При решении можно сразу использовать равносильный переход, не расписывая его.

Итак, неравенства с модулем можно решить двумя способами: раскрывать модуль и воспользоваться равносильным переходом. Выбор способа зависит от личных предпочтений и удобства решения.

Фактчек

Модуль — расстояние от любой точки на координатной прямой до начала координат. Модуль обозначается двумя вертикальными черточками: |a| = a и |-a| = a.
Модулем числа называют выражение:

График модуля представляет собой “галочку”, которая лежит выше оси х. Модуль отражает график любой функции зеркально оси х так, что значения у всегда больше 0.
Модуль можно раскрыть двумя способами. Этим свойством можно пользоваться при решении уравнений с модулем.
При решении неравенств с модулем можно раскрывать его, либо воспользоваться равносильным переходом, если в неравенстве выполняются все условия для него.

Проверь себя

Задание 1.
Чему равно выражение |-16 * 2|?

32
−32
−16
16

Задание 2.
Какой график имеет функция y = |x|?

Парабола
Гипербола
Прямая
Галочка

Задание 3.
Решите уравнение |x| = -3.

3
−3
Решений нет
3 и −3

Задание 4.
Решите уравнение |x + 2| = 15.

−13
17
13 и -17
Решений нет

Задание 5.
Какой равносильный переход можно использовать для неравенства вида |f(x) |⋁ |g(x)|?

f(x) ⋁ g(x)
f(x) ⋀ g(x)
f 2 (x) — 2 * f(x) * g(x) + g 2 (x) ⋁ 0
(f(x) — g(x))(f(x) + g(x)) ⋁ 0

Ответы: 1. — 1 2. — 4 3. — 3 4. — 3 5. — 4

Как убрать минус из уравнения

Статья находится на проверке у методистов Skysmart.
Если вы заметили ошибку, сообщите об этом в онлайн-чат
(в правом нижнем углу экрана).

Понятие уравнения

Уравнение — это математическое равенство, в котором неизвестна одна или несколько величин. Значение неизвестных нужно найти так, чтобы при их подстановке в пример получилось верное числовое равенство.

Например, возьмем выражение 2 + 4 = 6. При вычислении левой части получается верное числовое равенство, то есть 6 = 6.

Уравнением можно назвать выражение 2 + x = 6, с неизвестной переменной x, значение которой нужно найти. Результат должен быть таким, чтобы знак равенства был оправдан, и левая часть равнялась правой.

Корень уравнения — то самое число, которое при подстановке на место неизвестной уравнивает выражения справа и слева.

Решить уравнение значит найти все возможные корни или убедиться, что их нет.

Решить уравнение с двумя, тремя и более переменными — это два, три и более значения переменных, которые обращают данное выражение в верное числовое равенство.

Равносильные уравнения — это те, в которых совпадают множества решений. Другими словами, у них одни и те же корни.

Какие бывают виды уравнений

Уравнения могут быть разными, самые часто встречающиеся — линейные и квадратные.

Особенность преобразований алгебраических уравнений в том, что в левой части должен остаться многочлен от неизвестных, а в правой — нуль.

Что поможет в решении:

если а не равно нулю, то у уравнения единственный корень: х = -b : а;
если а равно нулю — у уравнения нет корней;
если а и b равны нулю, то корень уравнения — любое число.

Числовой коэффициент — число, которое стоит при неизвестной переменной.

Кроме линейных и квадратных есть и другие виды уравнений, с которыми мы познакомимся в следующий раз:

Онлайн-курсы по математике за 7 класс помогут закрепить новые знания на практике с талантливым преподавателем.

Как решать простые уравнения

Чтобы научиться решать простые линейные уравнения, нужно запомнить формулу и два основных правила.

1. Правило переноса. При переносе из одной части в другую, член уравнения меняет свой знак на противоположный.

Для примера рассмотрим простейшее уравнение: x+3=5

Начнем с того, что в каждом уравнении есть левая и правая часть.

Перенесем 3 из левой части в правую и меняем знак на противоположный.

Можно проверить: 2 + 3 = 5. Все верно. Корень равен 2.

Решим еще один пример: 6x = 5x + 10.

Перенесем 5x из правой части в левую. Знак меняем на противоположный, то есть на минус.

Приведем подобные и завершим решение.

2. Правило деления. В любом уравнении можно разделить левую и правую часть на одно и то же число. Это может ускорить процесс решения. Главное — быть внимательным, чтобы не допустить глупых ошибок.

Применим правило при решении примера: 4x=8.

При неизвестной х стоит числовой коэффициент — 4. Их объединяет действие — умножение.

Чтобы решить уравнение, нужно сделать так, чтобы при неизвестной x стояла единица.

Разделим каждую часть на 4. Как это выглядит:

Теперь сократим дроби, которые у нас получились и завершим решение линейного уравнения:

Рассмотрим пример, когда неизвестная переменная стоит со знаком минус: −4x = 12

−4x = 12 | : (−4)
x = −3

Если знак минус стоит перед скобками, и по ходу вычислений его убрали — важно не забыть поменять знаки внутри скобок на противоположные. Этот простой факт позволит не допустить обидные ошибки, особенно в старших классах.

Напомним, что не у каждого линейного уравнения есть решение — иногда корней просто нет. Изредка среди корней может оказаться ноль — ничего страшного, это не значит, что ход решения оказался неправильным. Ноль — такое же число, как и остальные.

Способов решения линейных уравнений немного, нужно запомнить только один алгоритм, который будет эффективен для любой задачки.

Раскрываем скобки, если они есть.
Группируем члены, которые содержат неизвестную переменную в одну часть уравнения, остальные члены — в другую.
Приводим подобные члены в каждой части уравнения.
Решаем уравнение, которое получилось: aх = b. Делим обе части на коэффициент при неизвестном.

Чтобы быстрее запомнить ход решения и формулу линейного уравнения, скачайте или распечатайте алгоритм — храните его в телефоне, учебнике или на рабочем столе.

Примеры линейных уравнений

Теперь мы знаем, как решать линейные уравнения. Осталось попрактиковаться на задачках, чтобы чувствовать себя увереннее на контрольных. Давайте решать вместе!

Пример 1. Как правильно решить уравнение: 6х + 1 = 19.

Разделить обе части на множитель, стоящий перед переменной х, то есть на 6.

Пример 2. Как решить уравнение: 5(х − 3) + 2 = 3 (х − 4) + 2х − 1.

5х − 15 + 2 = 3х − 12 + 2х − 1

Сгруппировать в левой части члены с неизвестными, а в правой — свободные члены. Не забываем при переносе из одной части уравнения в другую поменять знаки на противоположные у переносимых членов.

5х − 3х − 2х = −12 − 1 + 15 − 2

Приведем подобные члены.

Ответ: х — любое число.

Пример 3. Решить: 4х = 1/8.

Пример 4. Решить: 4(х + 2) = 6 − 7х.

4х + 8 = 6 − 7х
4х + 7х = 6 − 8
11х = −2
х = −2 : 11
х = −2/11

Ответ: −2/11 или −(0,18). О десятичных дробях можно почитать в другой нашей статье.

Пример 5. Решить:

3(3х — 4) = 4 · 7х + 24
9х — 12 = 28х + 24
9х — 28х = 24 + 12
-19х = 36
х = 36 : (-19)
х = — 36/19

Пример 6. Как решить линейное уравнение: х + 7 = х + 4.

5х — 15 + 2 = 3х — 2 + 2х — 1

Сгруппировать в левой части неизвестные члены, в правой — свободные члены:

Приведем подобные члены.

Ответ: нет решений.

Пример 7. Решить: 2(х + 3) = 5 − 7х.

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Уравнения бывают разные. Вы изучите их многие виды в курсе математике, но все они решаются по одним правилам, эти правила мы сейчас рассмотрим подробно.

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Переменные (аргументы уравнения) или неизвестные уравнения – их обозначают в основном латинскими буквами (x, y, z, f и т.д.). При подстановки числового значения переменной в уравнение получаем верное равенство – это корень уравнения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Можно устно решить данное уравнение. Какое надо число прибавить к 1, чтобы получить 3? Конечно, число 2. То есть наша переменная x =2. Корень уравнения равен 2. Проверим правильно ли мы решили уравнение? Чтобы проверить уравнение, нужно вместо переменной подставить полученный корень уравнения.

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Но бывают более сложные уравнения, которые устно не решить. Нужно прибегать к правилам решения уравнений. Рассмотрим правила решения уравнений ниже, которые объяснят нам как решать уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно левую и правую часть уменьшить на 2. Это нужно сделать для того, чтобы переменная x осталась слева, а известные (т.е. числа) справа. Что значит уменьшить на 2? Это значит отнять от левой части двойку и одновременно от правой части отнять двойку. Если мы делаем какое-то действие, например, вычитание применяя его одновременно к левой части уравнения и к правой, то уравнение не меняет смысл.

Нужно остановиться на этом моменте подробно. Другими словами, мы +2 перенесли с левой части на правую и знак поменяли стало число -2.

Как проверить правильно ли вы нашли корень уравнения? Ведь не все уравнения будут простыми как данное. Чтобы проверить корень уравнения его значение нужно поставить в само уравнение.

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Решение:
Чтобы решить данное уравнение нужно увеличить левую и правую часть уравнения на 4, чтобы переменная x осталось в левой стороне, а известные (т.е. числа) в правой стороне. Прибавим к левой и правой части число 4. Получим:

Другими словами, мы -4 перенесли из левой части уравнения в правую и получили +4. При переносе через равно знаки меняются на противоположные.

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Очень важно понять правила переноса частей уравнения через знак равно. Не всегда нужно переносить числа, иногда нужно перенести переменные или даже целые выражения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

Решение:
Чтобы решить уравнение необходимо неизвестные перенести в одну сторону, а известные в другую. То есть переменные с x будут в левой части, а числа в правой части.
Сначала перенесем 2x с правой стороны в левую сторону уравнения и получим -2x.

4+3x= 2x -5
4+3x -2x =-5

Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -4
4 +3x-2x=-5
3x-2x=-5 -4

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Сделаем проверку, правильно ли решено уравнение? Для этого вместо переменной x в уравнение подставим -9.
4+3x=2x-5
4+3⋅ (-9) =2⋅ (-9) -5
4-27=-18-5
-23=-23

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Данное правило подходит тогда, когда вы уже посчитали все неизвестные и известные, но какой-то коэффициент остался перед переменной. Чтобы избавится от не нужного коэффициента мы применяем правило уменьшения или увеличения в несколько раз коэффициент уравнения.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

Решение:
В данном уравнение не нужно переносить переменные и числа, все компоненты уравнения стоят на месте. Но нам мешает коэффициент 5 который стоит перед переменной x. Мы не можем его просто взять и перенести в правую сторону уравнения, потому что между число 5 и переменно x стоит умножение 5⋅х. Если бы между переменной и числом стоял знак плюс или минус, мы могли бы 5 перенести вправо. Но мы так поступить не можем. За то мы можем все уравнение уменьшить в 5 раз или поделить на 5. Обязательно делим правую и левую сторону одновременно.

5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Делаем проверку уравнения. Вместо переменной x подставляем 4.
5x=20
5⋅ 4 =20
20=20 получили верное равенство, корень уравнение найден правильно.
Ответ: x=4.

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .

Решение:
Так как перед переменной x стоит коэффициент необходимо от него избавиться. Надо все уравнение увеличить в 3 раза или умножить на 3, обязательно умножаем левую часть уравнения и правую часть.

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Решение:
Сначала перенесем -1 в правую сторону уравнения относительно знака равно, а в левую сторону и знаки у них поменяются на противоположные.
Теперь нужно все уравнение умножить на 5, чтобы в коэффициенте перед переменной x убрать из знаменателя 5.

Далее делим все уравнение на 3.

3x :3 =45 :3
(3:3)x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.

Эти правила действуют на любой вид уравнения (линейный, квадратный, логарифмический, тригонометрический, рациональные, иррациональные, показательные и другие виды). Поэтому важно понять эти простые правила и научиться ими пользоваться.

Как решать
показательные уравнения?

Решение уравнений – навык, который необходим каждому нацеленному на успешную сдачу ЕГЭ и ОГЭ школьнику. Это поможет решить задания №5, 13 и 15 из профильного уровня математики.

Одна из их разновидностей – степенные уравнения, которые иногда также называют показательными. Основная отличительная особенность – наличие переменной $х$ не в основании степени, а в самом показателе. Как это выглядит:

Не бойтесь – это самый общий вид показательных уравнений. Реальные примеры выглядят как-то так:

Внимательно посмотрите на приведенные уравнения. В каждом из них присутствует, так называемая, показательная (степенная) функция. При решении необходимо помнить об основных свойствах степени, а также использовать особые правила, помогающие вычислить значение $х$. Познакомиться с понятием степени и ее свойствами можно тут и тут.

И вам понадобится умение решать обыкновенные линейные и квадратные уравнения, те, что вы проходили в 7-8 классе. Вот такие:

И так, любое уравнение, в котором вы увидите показательную (степенную) функцию, называется показательным уравнением. Кроме самой показательной функции в уравнении могут быть любые другие математические конструкции – тригонометрические функции, логарифмы, корни, дроби и т.д. Если вы видите степень, значит перед вам показательное уравнение.

Ура! Теперь знаем, как выглядят показательные уравнения, но толку от этого не очень много. Было бы неплохо научиться их решать. Отличная новость – на наш взгляд показательные уравнения одни из самых простых типов уравнений, по сравнению с логарифмическими, тригонометрическими или иррациональными.

Простейшие показательные уравнения

Давайте начнем с самых простых типов уравнений и разберем сразу несколько примеров:

Что такое решить уравнение? Это значит, что нужно найти такое число, которое при подстановке в исходное уравнение вместо $х$ даст верное равенство. В нашем примере нужно найти такое число, в которое нужно возвести двойку, чтобы получить восемь. Ну это просто:

Значит, если $х=3$, то мы получим верное равенство, а значит мы решили уравнение.

Решим что-нибудь посложнее.

Такое уравнение выглядит сложнее. Попробуем преобразовать правую часть уравнения:

Мы применили свойство отрицательной степени по формуле:

Теперь наше уравнение будет выглядеть так:

Заметим, что слева и справа у нас стоят показательные функции, и там, и там основания одинаковые и равны $3$, только вот степени разные – слева степень $(4х-1)$, а справа $(-2)$. Логично предположить, что если степени у такой конструкции будут равны, при условии, что основания одинаковые, то мы получим верное равенство. Так и поступим:

Такое мы решать умеем, ведь это обыкновенное линейное уравнение.

Поздравляю, мы нашли корень нашего показательного уравнения.

Попробуем поступить так, как в предыдущем примере – преобразуем левую и правую часть, чтобы слева и справа была показательная функция с одинаковым основанием. Как это сделать? Обращаем внимание, что $125=5*5*5=5^3$, а $25=5*5=5^2$, подставим:

Воспользуемся одним из свойств степеней $(a^n)^m=a^ $:

И опять мы получили две показательные функции, у которых одинаковые основания и для того, чтобы равенство выполнялось, необходимо приравнять из степени:

И еще один пример:

Те, кто хорошо знает свойства степеней, знают, что показательная функция не может быть отрицательной. Действительно, попробуйте возводить $2$ в различную степень, вы никогда не сможете получить отрицательное число.

Внимание! Показательная функция не может быть отрицательной, поэтому, когда вы встречаете примеры на подобии примера 4, то знайте, что такого быть не может. Здесь корней нет, потому что показательная функция всегда положительна.

Теперь давайте разработаем общий метод решения показательных уравнений. И научимся решать более сложные примеры.

Общий метод решения показательных уравнений

Пусть у нас есть вот такой пример:

Где $a,b$ какие-то положительные числа. ($a>0, \; b>0$.

Согласно разобранным выше примерам, логично предположить, что для того, чтобы решить данное уравнение, нужно его преобразовать к виду, где слева и справа стоят показательные функции с одинаковым основанием. Так и поступим.

Слева у нас уже стоит $a^x$, с этим ничего делать не будем, а вот справа у нас стоит загадочное число $b$, которое нужно попытаться представить в виде $b=a^m$. Тогда уравнение принимает вид:

Раз основания одинаковые, то мы можем просто приравнять степени:

Вот и весь алгоритм решения. Просто нужно преобразовать исходное уравнение таким образом, чтобы слева и справа стояли показательные функции с одинаковыми основаниями, тогда приравниваем степени и вуаля – сложное показательное уравнение решено. Осталось только разобраться, как так преобразовывать. Опять разберем на примерах:

Замечаем, что $16=2*2*2*2=2^4$ это степень двойки:

Основания одинаковые, значит можно приравнять степени:

$$x=4.$$
Пример 6 $$5^ =125 \Rightarrow 5^ =5*5*5 \Rightarrow 5^ =5^3 \Rightarrow –x=3 \Rightarrow x=-3.$$
Пример 7 $$9^ =81 \Rightarrow (3*3)^ =3*3*3*3 \Rightarrow(3^2)^ =3^4 \Rightarrow 3^ =3^4 \Rightarrow 8x=4 \Rightarrow x=\frac .$$

Здесь мы заметили, что $9=3^2$ и $81=3^4$ являются степенями $3$.

Все здорово, но проблема в том, что такая схема решения показательных уравнений работает не всегда. Что делать, если привести к одинаковому основанию не получается. Например:

$3$ и $2$ привести к одинаковому основанию затруднительно. Но тем не менее мы должны это сделать. Воспользуемся следующей схемой преобразований: пусть есть некоторое положительное число $b>0$, тогда его можно представить в виде степени любого, нужного вам, положительного числа не равного единице $a>0, \; a \neq 1$:

Эта очень важная формула, рекомендуем ее выучить. Вернемся к нашему примеру и по формуле представим $2$ в виде $3$ в какой-то степени, где $a=3$, а $b=2$:

Подставим данное преобразование в наш пример:

Получили равенство двух показательных функций с одинаковым основанием, значит можем приравнять их степени:

Так в ответ и запишем. Никакой ошибки здесь нет, дело в том, что такие логарифмы можно посчитать только на калькуляторе, поэтому на ЕГЭ или в контрольной работе вы просто оставляете ответ в таком виде.

Кто забыл, что такое логарифм, можно посмотреть здесь.

Рассмотрим еще несколько аналогичных примеров.

Те, кто хорошо знает свойства логарифмов, могут поиграться с последней формулой и получить ответ в разном виде:

Все эти варианты ответа верные, их можно смело писать в ответ.

И так, мы с вами научились решать любые показательные уравнения вот такого вида: $a^x=b$, где $a>0; \; b>0$.

Но это еще далеко не все. Часто вы будете встречать показательные уравнения гораздо более сложного типа. В ЕГЭ по профильной математике это номер 15 из 2й части. Но бояться тут не нужно, все на первый взгляд сложные уравнения при помощи обычно не самых сложных преобразований сводятся к уравнениям типа $a^x=b$, где $a>0; \; b>0$. Рассмотрим типы сложных уравнений, которые могут попасться:

Решение показательных уравнений при помощи замены

Самое первое, что вы должны всегда делать, это пытаться привести все имеющиеся показательные функции к одинаковому основанию.

Здесь это сделать легко, замечаем, что $9=3^2$, тогда $9^x=(3^2)^x=3^ =(3^x)^2$. Здесь мы воспользовались свойством степеней: $(a^n)^m=a^ $. Подставим:

Обратим внимание, что во всем уравнении все $х$ «входят» в одинаковую функцию — $3^x$. Сделаем замену $t=3^x, \; t>0$, так как показательная функция всегда положительна.

Квадратное уравнение, которое решается через дискриминант:

Оба корня больше нуля, значит оба нам подходят. Сделаем обратную замену и уравнение сводится к решению двух простых показательных уравнений:

И второй корень:

И еще один пример на замену:

Воспользуемся нашим правилом, что все нужно приводить к одинаковому основанию – а стоп, тут и так у всех показательных функций основание $3$. Давайте еще внимательно посмотрим на наш пример, очень похоже на то, что он тоже делается через замену. Но у нас тут нет одинаковых показательных функций, основания то одинаковые, а вот степени отличаются. Но если быть внимательным, то можно заметить, что в первой степени можно разбить свободный член $3=2+1$ и вынести общий множитель $2$:

Подставим в исходное уравнение:

Теперь показательные функции одинаковы и можно сделать замену:

Обратная замена, и наше уравнение сводится к простейшему:

И второе значение $t$:

Тут у нас две показательные функции с основаниями $7$ и $3$, и как сделать из них одинаковые основания непонятно. Этот пример решается при помощи деления. Давайте поделим все наша уравнение на $3^x$:

Здесь нам придется воспользоваться свойствами степеней:

Разберем каждое слагаемое:

Теперь подставим получившееся преобразования в исходное уравнение:

Теперь видно, что в нашем уравнении есть одинаковая функция, которую можно убрать в замену $t=(\frac )^x$:

Сделаем обратную замену:

И последний пример на замену:

Первым делом нужно сделать так, чтобы все показательные функции были с одинаковым основанием и в идеале с одинаковой степенью. Для этого нам понадобятся формулы для степеней:

Разберем каждое слагаемое нашего уравнения:

Все десятичные дроби всегда разумно представить в виде обыкновенных дробей. И будьте внимательны — отрицательная степень не имеет никакого отношения к знаку показательной функции!

И последнее слагаемое со степенью:

Подставим все наши преобразования в исходное уравнение:

Теперь можно сделать замену $t=2^x$ или можно обойтись без замены, просто приведя подобные слагаемые (вынести общий множитель $2^x$):

Особенно стоит подчеркнуть прием, который мы использовали при решении 13-го примера. Всегда старайтесь избавляться от десятичных дробей. Переводите их в обыкновенные дроби.

И другой тип степенных уравнений, где обычно не нужно делать замену, а необходимо отлично знать все свойства степеней, некоторые из них мы уже обсудили выше. Все про свойства степеней можно посмотреть тут

Вот такое уравнение, в котором у нас, во-первых, показательных функции перемножаются, а еще хуже то, что у них у всех разные основания. Катастрофа, а не пример. Но ничего, все не так страшно, как кажется. Внимательно посмотрите на основания: у нас есть в основании $2$, $5$ и $10$. Очевидно, что $10=2*5$. Воспользуемся этим и подставим в наше уравнение:

Воспользуемся формулой $(a*b)^n=a^n*b^n$:

И перекинем все показательные функции с основанием $2$ влево, а с основанием $5$ вправо:

Сокращаем и воспользуемся формулами $a^n*a^m=a^ $ и $\frac=a^ $:

Самая главная идея при решении показательных уравнений – это любыми доступными способами свести все имеющиеся степенные функции к одинаковому основанию. А еще лучше и к одинаковой степени. Вот почему необходимо знать все свойства степеней, без этого решить уравнения будет проблематично.

Как же понять, где какие преобразования использовать? Не бойтесь, это придет с опытом, чем больше примеров решите, тем увереннее будете себя чувствовать на контрольных в школе или на ЕГЭ по профильной математике. Сначала потренируйтесь на простых примерах и постепенно повышайте уровень сложности. Успехов в изучении математики!

уравнения — Поменять знак в уравнении

-1(A(n-100)), то я получу -A(100-n). Все же знаки должны поменятся?

задан 10 Окт ’20 21:38

Если А — нечетная функция, то -А(n-100) = A(100-n)

A — работа. Если я выражение домножу на -1, должны поменяться все знаки. Т.е. -1(A(n-100)) => -A(-n+100). Верно?

@Ilya83: я так понимаю, A здесь не функция, а число, которое умножается на n-100. Если надо выразить A, то просто делим обе части на n-100 и получаем -nQh/(n-100). То же самое равно nQh/(100-n).

Арифметика у Вас какая-то странная, потому что если Вы меняете знак произведения, а не суммы, то достаточно сменить знак одного сомножителя, а не всех. А то минус на минус даст, как известно, плюс.

Давайте сначала. Имеем: A(n-100)=-nQh.

Как избавится от минуса?

@Ilya83: поменять знак слева и справа. Справа просто убрать минус, а слева заменить n-100 на 100-n.

«Справа просто убрать минус, а слева заменить n-100 на 100-n.» Это и был мой вопрос. Как это сделать? Я предположил, что надо умножить обе части уравнения на -1. Но так не получается. Как это сделать?

@Ilya83: если -1 умножить на a-b, то получится -(a-b)=-a+b=b-a. Это простое правило постигают в младших классах.

Далее, (-1)xy=-xy=(-x)y=x(-y). То есть при смене знака произведения достаточно сменить знак у одного из сомножителей. У Вас было A(n-100), и если Вы хотите сменить знак всего произведения, то меняете знак у разности. А для этого меняются местами уменьшаемое и вычитание, что обычно усваивается на ранних стадиях изучения арифметики.

-1(An-A100) => -An+A100 => A(100-n). Я все понял. Спасибо!

@Ilya83: хорошо, что поняли, но таких вычислений и проверок никто никогда не делает. Усваивается на словесном уровне принцип: если поменять знак у разности x-y, то получится y-x. Если каждый раз проверять развёрнуто все арифметические законы, то это будет очень долго.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Узнаем сначала все понятия, связанные с уравнением.

Определение:
Уравнение – это равенство, содержащее переменные и числовые значения.

Решить уравнение – это значит найти все корни уравнения или доказать, что у данного уравнения нет корней.

Корни уравнения – это значение переменной при котором уравнение превращается в верное равенство.

Рассмотрим теперь, все термины на простом примере:
x+1=3

В данном случае x – переменная или неизвестное значение уравнения.

Получили верное равенство. Значит, правильно нашли корни уравнения.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Чтобы понять правило рассмотрим подробно простой пример:
Решите уравнение x+2=7

Уравнение правила переноса

Проверка:
Вместо переменной x подставим 5.

x+2=7
5+2=7
Получили верное равенство, значит уравнение решено верно.
Ответ: 5.

Разберем следующий пример:
Решите уравнение x-4=12.

Уравнение правила

Теперь выполним проверку, вместо переменной x подставим в уравнение полученное число 16.
x-4=12
16-4=12
Ответ: 16

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 4+3x=2x-5

4+3x= 2x -5
4+3x -2x =-5

Далее 4 с левой стороны уравнения перенесем на правую сторону и получим -4
4 +3x-2x=-5
3x-2x=-5 -4

Теперь, когда все неизвестные в левой стороне, а все известные в правой стороне посчитаем их.
(3-2)x=-9
1x=-9 или x=-9

Получилось верное равенство, уравнение решено верно.
Ответ: корень уравнения x=-9.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Рассмотрим пример:
Решите уравнение 5x=20.

5x=20
5x :5 =20 :5
5:5x=4
1x=4 или x=4

Рассмотрим следующий пример:
Найдите корни уравнения .

Сделаем проверку уравнения. Подставим вместо переменной x полученный корень уравнения 21.

7=7 получено верное равенство.

Ответ: корень уравнения равен x=21.

Следующий пример:
Найдите корни уравнения

Далее делим все уравнение на 3.

3x :3 =45 :3
(3:3)x=15

Сделаем проверку. Подставим в уравнение найденный корень.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Подведем итог разобранной теме уравнений, рассмотрим общие правила решения уравнений:

Перенести неизвестные в одну сторону, а известные в другую сторону уравнения относительно равно.
Преобразовать и посчитать подобные в уравнении, то есть переменные с переменными, а числа с числами.
Избавиться от коэффициента при переменной если нужно.
В итоге всех действий получаем корень уравнение. Выполняем проверку.

Как избавиться от минуса в уравнении

Модуль

Модуль

Свойства модуля

График модуля

Уравнения с модулем

Неравенства с модулем

Фактчек

Проверь себя

Как убрать минус из уравнения

Понятие уравнения

Какие бывают виды уравнений

Как решать простые уравнения

Примеры линейных уравнений

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Как решать показательные уравнения?

Простейшие показательные уравнения

Общий метод решения показательных уравнений

Решение показательных уравнений при помощи замены

уравнения — Поменять знак в уравнении

Здравствуйте

Что такое уравнение и корни уравнения? Как решить уравнение?

Что такое уравнение? Смысл и понятия.

Правила уменьшения или увеличения уравнения на определенное число.

Правила уменьшения или увеличения уравнения в несколько раз.

Как решать уравнения? Алгоритм действий.

Добавить комментарий Отменить ответ

Как решать
показательные уравнения?