Объясни что обозначают выражения 4 3
Вопрос по математике:
Что обозначает выражения 4+3
Трудности с пониманием предмета? Готовишься к экзаменам, ОГЭ или ЕГЭ?
Воспользуйся формой подбора репетитора и занимайся онлайн. Пробный урок — бесплатно!
- 09.12.2016 14:45
- Математика
- remove_red_eye 10317
- thumb_up 42
Ответы и объяснения 1
Это сложение. 4+3=7
- 01.01.1970 00:00
- thumb_up 8
Знаете ответ? Поделитесь им!
Как написать хороший ответ?
Чтобы добавить хороший ответ необходимо:
- Отвечать достоверно на те вопросы, на которые знаете правильный ответ;
- Писать подробно, чтобы ответ был исчерпывающий и не побуждал на дополнительные вопросы к нему;
- Писать без грамматических, орфографических и пунктуационных ошибок.
Этого делать не стоит:
- Копировать ответы со сторонних ресурсов. Хорошо ценятся уникальные и личные объяснения;
- Отвечать не по сути: «Подумай сам(а)», «Легкотня», «Не знаю» и так далее;
- Использовать мат — это неуважительно по отношению к пользователям;
- Писать в ВЕРХНЕМ РЕГИСТРЕ.
Есть сомнения?
Не нашли подходящего ответа на вопрос или ответ отсутствует? Воспользуйтесь поиском по сайту, чтобы найти все ответы на похожие вопросы в разделе Математика.
Трудности с домашними заданиями? Не стесняйтесь попросить о помощи — смело задавайте вопросы!
Математика — наука о структурах, порядке и отношениях, исторически сложившаяся на основе операций подсчёта, измерения и описания формы объектов.
Страница 89 (учебник Моро 2 часть 4 класс) ответы
с + 175 → c — первое слагаемое
a + b → a — первое слагаемое, b — второе слагаемое
k — 20 → k — уменьшаемое
с — d → c — уменьшаемое, d — вычитаемое
18 * b → b — второй множитель
k * b → k — первый множитель, b — второй множитель
450 : с → c — делитель
a : d → а — делимое, d — делитель
Эти записи — математические выражения. В левом столбике записаны равенства, а в правом — неравенства.
160 + 30 = 300 — 110
260 — 160 2 = 100 дм 2
70 * 7 + 70 x = 7
Уравнения:
25 : x = 5, 56 — а = 50, с : 12 = 3.
Другие записи не уравнения. Они — буквенные или числовые выражения и неравенства.
Нахождение значения выражения: правила, примеры, решения
В данной статье рассмотрено, как находить значения математических выражений. Начнем с простых числовых выражений и далее будем рассматривать случаи по мере возрастания их сложности. В конце приведем выражение, содержащее буквенные обозначения, скобки, корни, специальные математические знаки, степени, функции и т.д. Всю теорию, по традиции, снабдим обильными и подробными примерами.
Как найти значение числового выражения?
Числовые выражения, помимо прочего, помогают описывать условие задачи математическим языком. Вообще математические выражения могут быть как очень простыми, состоящими из пары чисел и арифметических знаков, так и очень сложными, содержащими функции, степени, корни, скобки и т.д. В рамках задачи часто необходимо найти значение того или иного выражения. О том, как это делать, и пойдет речь ниже.
Простейшие случаи
Это случаи, когда выражение не содержит ничего, кроме чисел и арифметических действий. Для успешного нахождения значений таких выражений понадобятся знания порядка выполнения арифметических действий без скобок, а также умение выполнять действия с различными числами.
Если в выражении есть только числа и арифметические знаки » + » , » · » , » — » , » ÷ » , то действия выполняются слева направо в следующем порядке: сначала умножение и деление, затем сложение и вычитание. Приведем примеры.
Пример 1. Значение числового выражения
Пусть нужно найти значения выражения 14 — 2 · 15 ÷ 6 — 3 .
Выполним сначала умножение и деление. Получаем:
14 — 2 · 15 ÷ 6 — 3 = 14 — 30 ÷ 6 — 3 = 14 — 5 — 3 .
Теперь проводим вычитание и получаем окончательный результат:
14 — 5 — 3 = 9 — 3 = 6 .
Вычислим: 0 , 5 — 2 · — 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 .
Сначала выполняем преобразование дробей, деление и умножение:
0 , 5 — 2 · — 7 + 2 3 ÷ 2 3 4 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12
1 2 — ( — 14 ) + 2 3 ÷ 11 4 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 3 · 4 11 · 11 12 = 1 2 — ( — 14 ) + 2 9 .
Теперь займемся сложением и вычитанием. Сгруппируем дроби и приведем их к общему знаменателю:
1 2 — ( — 14 ) + 2 9 = 1 2 + 14 + 2 9 = 14 + 13 18 = 14 13 18 .
Искомое значение найдено.
Выражения со скобками
Если выражение содержит скобки, то они определяют порядок действий в этом выражении. Сначала выполняются действия в скобках, а потом уже все остальные. Покажем это на примере.
Пример 3. Значение числового выражения
Найдем значение выражения 0 , 5 · ( 0 , 76 — 0 , 06 ) .
В выражении присутствуют скобки, поэтому сначала выполняем операцию вычитания в скобках, а уже потом — умножение.
0 , 5 · ( 0 , 76 — 0 , 06 ) = 0 , 5 · 0 , 7 = 0 , 35 .
Значение выражений, содержащих скобки в скобках, находится по такому же принципу.
Пример 4. Значение числового выражения
Вычислим значение 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 — 1 4 .
Выполнять действия будем начиная с самых внутренних скобок, переходя к внешним.
1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 1 — 1 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4
1 + 2 · 1 + 2 · 1 + 2 · 3 4 = 1 + 2 · 1 + 2 · 2 , 5 = 1 + 2 · 6 = 13 .
В нахождении значений выражений со скобками главное — соблюдать последовательность действий.
Выражения с корнями
Математические выражения, значения которых нам нужно найти, могут содержать знаки корня. Причем, само выражение может быть под знаком корня. Как быть в таком случае? Сначала нужно найти значение выражения под корнем, а затем извлечь корень из числа, полученного в результате. По возможности от корней в числовых выражениях нужно лучше избавляться, заменяя из на числовые значения.
Пример 5. Значение числового выражения
Вычислим значение выражения с корнями — 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 .
Сначала вычисляем подкоренные выражения.
— 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 = — 6 — 1 + 15 3 = 8 3 = 2
2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 , 2 + 0 , 05 = 2 , 25 = 1 , 5 .
Теперь можно вычислить значение всего выражения.
— 2 · 3 — 1 + 60 ÷ 4 3 + 3 · 2 , 2 + 0 , 1 · 0 , 5 = 2 + 3 · 1 , 5 = 6 , 5
Часто найти значение выражения с корнями часто нужно сначала провести преобразование исходного выражения. Поясним это на еще одном примере.
Пример 6. Значение числового выражения
Сколько будет 3 + 1 3 — 1 — 1
Как видим, у нас нет возможности заменить корень точным значением, что усложняет процесс счета. Однако, в данном случае можно применить формулу сокращенного умножения.
3 + 1 3 — 1 = 3 — 1 .
3 + 1 3 — 1 — 1 = 3 — 1 — 1 = 1 .
Выражения со степенями
Если в выражении имеются степени, их значения нужно вычислить прежде, чем приступать ко всем остальным действиям. Бывает так, что сам показатель или основание степени являются выражениями. В таком случае, сначала вычисляют значение этих выражений, а затем уже значение степени.
Пример 7. Значение числового выражения
Найдем значение выражения 2 3 · 4 — 10 + 16 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 .
Начинаем вычислять по порядку.
2 3 · 4 — 10 = 2 12 — 10 = 2 2 = 4
16 · 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 = 16 * 0 , 5 3 = 16 · 1 8 = 2 .
Осталось только провести операцию сложение и узнать значение выражения:
2 3 · 4 — 10 + 16 1 — 1 2 3 , 5 — 2 · 1 4 = 4 + 2 = 6 .
Также часто целесообразно бывает провести упрощение выражения с использованием свойств степени.
Пример 8. Значение числового выражения
Вычислим значение следующего выражения: 2 — 2 5 · 4 5 — 1 + 3 1 3 6 .
Показатели степеней опять таковы, что их точные числовые значения получить не удастся. Упростим исходное выражение, чтобы найти его значение.
2 — 2 5 · 4 5 — 1 + 3 1 3 6 = 2 — 2 5 · 2 2 5 — 1 + 3 1 3 · 6
2 — 2 5 · 2 2 5 — 1 + 3 1 3 · 6 = 2 — 2 5 · 2 2 · 5 — 2 + 3 2 = 2 2 · 5 — 2 — 2 5 + 3 2
2 2 · 5 — 2 — 2 5 + 3 2 = 2 — 2 + 3 = 1 4 + 3 = 3 1 4
Выражения с дробями
Если выражение содержит дроби, то при вычислении такого выражения все дроби в нем нужно представить в виде обыкновенных дробей и вычислить их значения.
Если в числителе и знаменателе дроби присутствуют выражения, то сначала вычисляются значения этих выражений, и записывается финальное значение самой дроби. Арифметические действия выполняются в стандартном порядке. Рассмотрим решение примера.
Пример 9. Значение числового выражения
Найдем значение выражения, содержащего дроби: 3 , 2 2 — 3 · 7 — 2 · 3 6 ÷ 1 + 2 + 3 9 — 6 ÷ 2 .
Как видим, в исходном выражении есть три дроби. Вычислим сначала их значения.
3 , 2 2 = 3 , 2 ÷ 2 = 1 , 6
7 — 2 · 3 6 = 7 — 6 6 = 1 6
1 + 2 + 3 9 — 6 ÷ 2 = 1 + 2 + 3 9 — 3 = 6 6 = 1 .
Перепишем наше выражение и вычислим его значение:
1 , 6 — 3 · 1 6 ÷ 1 = 1 , 6 — 0 , 5 ÷ 1 = 1 , 1
Часто при нахождении значений выражений удобно бывает проводить сокращение дробей. Существует негласное правило: любое выражение перед нахождением его значения лучше всего упростить по максимуму, сводя все вычисления к простейшим случаям.
Пример 10. Значение числового выражения
Вычислим выражение 2 5 — 1 — 2 5 — 7 4 — 3 .
Мы не можем нацело извлечь корень из пяти, однако можем упростить исходное выражение путем преобразований.
2 5 — 1 = 2 5 + 1 5 — 1 5 + 1 = 2 5 + 1 5 — 1 = 2 5 + 2 4
Исходное выражение принимает вид:
2 5 — 1 — 2 5 — 7 4 — 3 = 2 5 + 2 4 — 2 5 — 7 4 — 3 .
Вычислим значение этого выражения:
2 5 + 2 4 — 2 5 — 7 4 — 3 = 2 5 + 2 — 2 5 + 7 4 — 3 = 9 4 — 3 = — 3 4 .
Выражения с логарифмами
Когда в выражении присутствуют логарифмы, их значение, если это возможно, вычисляется с самого начала. К примеру, в выражении log 2 4 + 2 · 4 можно сразу вместо log 2 4 записать значение этого логарифма, а потом выполнить все действия. Получим: log 2 4 + 2 · 4 = 2 + 2 · 4 = 2 + 8 = 10 .
Под самим знаком логарифма и в его основании также могут находится числовые выражения. В таком случае, первым делом находятся их значения. Возьмем выражение log 5 — 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 . Имеем:
log 5 — 6 ÷ 3 5 2 + 2 + 7 = log 3 27 + 7 = 3 + 7 = 10 .
Если же вычислить точное значение логарифма невозможно, упрощение выражения помогает найти его значение.
Пример 11. Значение числового выражения
Найдем значение выражения log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 .
log 2 log 2 256 = log 2 8 = 3 .
По свойству логарифмов:
log 6 2 + log 6 3 = log 6 ( 2 · 3 ) = log 6 6 = 1 .
Вновь применяя свойства логарифмов, для последней дроби в выражении получим:
log 5 729 log 0 , 2 27 = log 5 729 log 1 5 27 = log 5 729 — log 5 27 = — log 27 729 = — log 27 27 2 = — 2 .
Теперь можно переходить к вычислению значения исходного выражения.
log 2 log 2 256 + log 6 2 + log 6 3 + log 5 729 log 0 , 2 27 = 3 + 1 + — 2 = 2 .
Выражения с тригонометрическими функциями
Бывает, что в выражении есть тригонометрические функции синуса, косинуса, тангенса и котангенса, а также функции, обратные им. Из значения вычисляются перед выполнением всех остальных арифметических действий. В противном случае, выражение упрощается.
Пример 12. Значение числового выражения
Найдите значение выражения: t g 2 4 π 3 — sin — 5 π 2 + cosπ .
Сначала вычисляем значения тригонометрических функций, входящих в выражение.
Подставляем значения в выражение и вычисляем его значение:
t g 2 4 π 3 — sin — 5 π 2 + cosπ = 3 2 — ( — 1 ) + ( — 1 ) = 3 + 1 — 1 = 3 .
Значение выражения найдено.
Часто для того, чтобы найти значение выражения с тригонометрическими функциями, его предварительно нужно преобразовать. Поясним на примере.
Пример 13. Значение числового выражения
Нужно найти значение выражения cos 2 π 8 — sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 — sin 5 π 36 sin π 9 — 1 .
Для преобразования будем использовать тригонометрические формулы косинуса двойного угла и косинуса суммы.
cos 2 π 8 — sin 2 π 8 cos 5 π 36 cos π 9 — sin 5 π 36 sin π 9 — 1 = cos 2 π 8 cos 5 π 36 + π 9 — 1 = cos π 4 cos π 4 — 1 = 1 — 1 = 0 .
Общий случай числового выражения
В общем случае тригонометрическое выражение может содержать все вышеописанные элементы: скобки, степени, корни, логарифмы, функции. Сформулируем общее правило нахождения значений таких выражений.
Как найти значение выражения
- Корни, степени, логарифмы и т.д. заменяются их значениями.
- Выполняются действия в скобках.
- Оставшиеся действия выполняются по порядку слева направо. Сначала — умножение и деление, затем — сложение и вычитание.
Пример 14. Значение числового выражения
Вычислим, чему равно значение выражения — 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 .
Выражение довольно сложное и громоздкое. Мы не случайно выбрали именно такой пример, постаравшись уместить в него все описанные выше случаи. Как найти значение такого выражения?
Известно, что при вычислении значения сложного дробного вида, сначала отдельно находятся значения числителя и знаменателя дроби соответственно. Будем последовательно преобразовывать и упрощать данное выражение.
Первым делом вычислим значение подкоренного выражения 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 . Чтобы сделать это, нужно найти значение синуса, и выражения, которое является аргументом тригонометрической функции.
π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = π 6 + 2 · 2 π + 3 π 5 = π 6 + 2 · 5 π 5 = π 6 + 2 π
Теперь можно узнать значение синуса:
sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 = sin π 6 + 2 π = sin π 6 = 1 2 .
Вычисляем значение подкоренного выражения:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 2 · 1 2 + 3 = 4
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 = 4 = 2 .
Со знаменателем дроби все проще:
Теперь мы можем записать значение всей дроби:
2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 = 2 2 = 1 .
С учетом этого, запишем все выражение:
— 1 + 1 + 3 9 = — 1 + 1 + 3 3 = — 1 + 1 + 27 = 27 .
— 2 · sin π 6 + 2 · 2 π 5 + 3 π 5 + 3 ln e 2 + 1 + 3 9 = 27 .
В данном случае мы смогли вычислить точные значения корней, логарифмов, синусов и т.д. Если такой возможности нет, можно попробовать избавиться от них путем математических преобразований.
Вычисление значений выражений рациональными способами
Вычислять значения числовых нужно последовательно и аккуратно. Данный процесс можно рационализировать и ускорить, используя различные свойства действий с числами. К примеру, известно, что произведение равно нулю, если нулю равен хотя бы один из множителей. С учетом этого свойства, можно сразу сказать, что выражение 2 · 386 + 5 + 589 4 1 — sin 3 π 4 · 0 равно нулю. При этом, вовсе не обязательно выполнять действия по порядку, описанному в статье выше.
Также удобно использовать свойство вычитания равных чисел. Не выполняя никаких действий, можно заказать, что значение выражения 56 + 8 — 3 , 789 ln e 2 — 56 + 8 — 3 , 789 ln e 2 также равно нулю.
Еще один прием, позволяющий ускорить процесс — использование тождественных преобразований таких как группировка слагаемых и множителей и вынесение общего множителя за скобки. Рациональный подход к вычислению выражений с дробями — сокращение одинаковых выражений в числителе и знаменателе.
Например, возьмем выражение 2 3 — 1 5 + 3 · 289 · 3 4 3 · 2 3 — 1 5 + 3 · 289 · 3 4 . Не выполняя действий в скобках, а сокращая дробь, можно сказать, что значение выражения равно 1 3 .
Нахождение значений выражений с переменными
Значение буквенного выражения и выражения с переменными находится для конкретных заданных значений букв и переменных.
Нахождение значений выражений с переменными
Чтобы найти значение буквенного выражения и выражения с переменными, нужно в исходное выражение подставить заданные значения букв и переменных, после чего вычислить значение полученного числового выражения.
Вычислить значение выражения 0 , 5 x — y при заданных x = 2 , 4 и y = 5 .
Подставляем значения переменных в выражение и вычисляем:
0 , 5 x — y = 0 , 5 · 2 , 4 — 5 = 1 , 2 — 5 = — 3 , 8 .
Иногда можно так преобразовать выражение, чтобы получить его значение независимо от значений входящих в него букв и переменных. Для этого от букв и переменных в выражении нужно по возможности избавиться, используя тождественные преобразования, свойства арифметических действий и все возможные другие способы.
Например, выражение х + 3 — х , очевидно, имеет значение 3 , и для вычисления этого значения совсем необязательно знать значение переменной икс. Значение данного выражения равно трем для всех значений переменной икс из ее области допустимых значений.
Еще один пример. Значение выражения x x равно единице для всех положительных иксов.
Урок 2. Выражения. Л.Г. Петерсон Математика 2 класс Ответы
Задача 1. Маша нарисовала 3 рисунка, а Петя 7 рисунков. Сколько всего рисунков нарисовали ребята?
Выражение а+7 — буквенное.
Задача 2. Мама испекла а пирожных, бабушка испекла 7 пирожных. Сколько всего пирожных они испекли?
Выражение а+b буквенное.
Задача 3. Маша сделала а новогодних открыток, Петя сделал b новогодних открыток. Сколько всего новогодних открыток сделали ребята?
2. Прочитай выражения разными способами. Какие из этих выражений числовые, а какие − буквенные?
Решение
15 − 9 − числовое выражение;
разность чисел 15 и 9;
из 15 вычесть девять.
a + c − буквенное выражение;
сумма чисел a и c;
к a прибавить c.
207 + 27 − числовое выражение;
сумма чисел 207 и 27;
к 207 прибавить 27.
16 − b − буквенное выражение;
разность чисел 16 и b;
из 16 вычесть b.
3. Запиши выражения
Решение
а) «сумма m и n» — m + n
б) «разность 200 и 48» — 200 − 48
в) «разность 34 и x» — 34 − x
г) «сумма 3 и 18» — 3 + 18
4. а) Объясни, почему записи 7 + 4 = 11 и a < 12 не являются выражениями.
б) Найди записи, которые не являются выражениями
Решение
Эти записи не являются выражениями, потому что в них есть знаки сравнения.
Не являются выражениями записи:
100 > 15
a + 3 = 5
5. Объясни по картинке смысл выражений. На какие еще группы можно разбить эти фигуры? Запиши для каждого разбиения 4 разных выражения и объясни их смысл.
Решение
По размеру:
3 + 4 − 3 больших фигуры + 4 маленьких;
4 + 3 − 4 маленьких фигуры + 3 больших;
7 − 3 − 7 фигур всего − 3 больших фигуры;
7 − 4 − 7 фигур всего − 4 маленьких фигуры.
По цвету:
5 + 2 − 5 зеленых фигур + 2 желтых фигуры;
2 + 5 − 2 желтые фигуры + 5 зеленых фигур;
7 − 5 − 7 фигур всего − 5 зеленых фигур;
7 − 2 − 7 фигур всего − 2 желтых фигуры.
По форме:
6 + 1 − 6 кругов + 1 треугольник;
1 + 6 − 1 треугольник + 6 кругов;
7 − 6 − 7 фигур всего − 6 кругов;
7 − 1 − 7 фигур всего − 1 треугольник.
6. Найди значения выражений:
Решение
90 − 40 = 50
13 + 54 = 67
32 − 7 = 25
25 + 45 = 70
500 − 1 = 499
7. Какие из выражений имеют одинаковые значения? Сделай записи по образцу.
Образец: 38 + 14 = 40 − 8
Решение
480 + 20 = 300 + 200
500 = 500
294 + 0 = 294 − 0
294 = 294
75 + 25 = 300 − 200
100 = 100
8. БЛИЦтурнир «В цирке»
Размести справа от задач листок бумаги и запиши на нем выражение к каждой задаче:
а) на представление в цирк пошли 12 мальчиков и 15 девочек 2 «А» класса. Сколько всего детей этого класса пошли в цирк?
б) Фокусник достал из шапки 12 красных платков и 8 синих. На сколько меньше было синих платков, чем красных?
в) На арену выбежали 5 пуделей, а болонок − на 3 больше. Сколько болонок на арене?
г) В представлении приняли участие 9 акробатов. Это на 3 больше, чем жонглеров. Сколько выступило жонглеров?
д) В антракте 20 детей купили мороженое. Из них 14 человек купли эскимо, а остальные − пломбир. Сколько детей купили пломбир?
Решение
А) 12 + 15 Б) 12 − 8 В) 5 + 3 Г) 9 − 3 Д) 20 − 14
9. Составь два выражения, значения которых равно 20.
Решение
Примечание: не верно написать 3+17=20. Это будет уже не выражение, так как в нем есть знак сравнения (=)
10. Как найти ответ, не считая? Проверь с помощью вычислений.
Решение
36 − 24 + 24 = 36 + 24 – 24 = 36 + (24 − 24) = 36 + 0 = 36
78 + 21 − 21 = 78 + (21 − 21) = 78 + 0 = 78
43 + 39 − 39 = 43 + (39 − 39) = 43 + 0 = 43
11. Значения каких выражений надо найти, чтобы заполнить таблицы? Составь таблицы в тетради.
Решение
12. Реши примеры по следующим программам:
Решение
13. Составь алгоритм подготовки к рисованию. Какие операции в этом алгоритме перестановочны, а какие − нет?
1. Открыть баночку с краской.
2. Окунуть в нее кисточку.
3. Надеть халат.
4. Рисовать на бумаге.
5. Расстелить бумагу на столе.
Решение
Операции 1, 3, 5 — перестановочны; 2,4 — нет.
Мы никак не можем окунуть кисточку в банку с краской до того, как мы ее откроем, никак не можем начать рисовать, если еще не окунули кисточку в краску. Но мы можем надеть халат и расстелить бумагу в любой последовательности. И даже можем перед этим открыть баночку с краской, хотя мы можем испачкаться, но сделать так мы все равно можем.