Что такое функция в математике
Понятие функции в математике появилось не просто так. Давайте разберемся, зачем придумали функцию и как с ней можно работать.
Разберём пример из жизни. Рассмотрим движение автомобиля. Предположим, что он двигается с постоянной скоростью 60 км/ч .
То, что автомобиль двигается с постоянной скоростью 60 км/ч означает, что автомобиль проезжает 60 км за 1 час .
Зададим себе вопрос: «Сколько километров проедет автомобиль за 2 часа ?».
Очевидно, чтобы найти, сколько километров пройдет автомобиль за 2 часа , нужно 60 умножить на 2 . Мы получим, что за 2 часа автомобиль проедет 120 км .
Составим таблицу, в которой укажем какое расстояние проедет автомобиль за разное время при постоянной скорости 60 км/ч .
| Сколько времени двигается автомобиль | Сколько км проедет автомобиль |
|---|---|
| 1 час | 60 км |
| 2 часа | 120 км |
| 3 часа | 180 км |
Если внимательно изучить таблицу станет очевидно, что между временем автомобиля в пути и пройденным расстоянием есть четкая зависимость.
Обозначим за « x » время автомобиля в пути.
Обозначим за « y » расстояние, пройденное автомобилем.
Запишем зависимость « y » (расстояния) от « x » (времени в пути автомобиля).
Давайте убедимся, что мы правильно записали зависимость пройденного расстояния от времени в пути.
Рассчитаем по записанной формуле, сколько пройдет автомобиль за 1 ч . То есть подставим в формулу « y = 60 · x » значение x = 1 .
y = 60 · 1 = 60(км) — пройдёт автомобиль за 1 час . Это совпадает с нашими расчетами ранее.
Теперь рассчитаем для x = 2 .
y = 60 · 2 = 120(км) — пройдёт автомобиль за 2 часа .
Теперь вместо « y » запишем обозначение « y(x) ». Такая запись означает, что « y » зависит от « x ».
Окончательная запись нашей функции, которая показывает зависимость пройденного автомобилем расстояния от времени в пути, выглядит следующим образом:
Запомните! 
Функцией называют зависимость « y » от « x ».
- « x » называют переменной или аргументом функции.
- « y » называют зависимой переменной или значением функции.
Запись функции в виде « y(x) = 60x » называют формульным способом задания функции.
Конечно, нужно понимать, что функция « y(x) = 60x » — это не единственная в мире функция. В математике бесконечное множество самых разнообразных функций.
Примеры других функций:
- y(x) = 2x
- y(x) = −5x + 2
- y(x) = 12x 2 −1
Единственное, что объединяет все функции, это то, что они показывают зависимость значения функция (« y ») от её аргумента (« x »).
Способы задания функции
Существуют три основных способа задания функции. Все способы задания функции в математике тесно связаны друг с другом .
Задание функции формулой
Через формульный способ задания функции всегда можно сразу по конкретному значению аргумента « x » найти значение функции « y ».
Например, рассмотрим функцию, заданную формульным способом.
Найдем значение функции « y » при x = 0 . Для этого подставим в формулу вместо « x »
число « 0 ».
Запишем расчет следующим образом.
Таким же образом найдем значения « y » при x = 1 и при x = 2 .
Найдем значение « y » при x = 1 .
Теперь найдем значение « y » при x = 2 .
Табличный способ задания функции
С табличным способом задания функции мы уже встречались, когда расписывали таблицу для функции, которая описывает движение автомобиля « y(x) = 60x ».
Любую функцию можно записать с помощью таблицы. Для этого достаточно найти несколько значений « y » для произвольно выбранных значений « x ».
Найдем значения « y » при x = −1 , x = 0 и x = 1 .
Важно! 
Будьте внимательны, когда подставляете значение « x » в функцию,
у которой перед « x » есть минус.
Нельзя терять знак минуса, который стоит перед « x ».
При подстановки отрицательного числа в функцию вместо « x » обязательно заключайте отрицательное число в скобки. Не забывайте использовать правило знаков.
Подставим в функцию « y(x) = −x + 4 » вместо « x » отрицательное число « −1 ».
Неправильно
Правильно
Теперь для функции « y(x) = −x + 4 » найдем значения « y » при x = 0 и x = 1 .
Запишем полученные результаты в таблицу. Таким образом мы получили табличный способ задания функции « y(x) = −x + 4 ».
| x | y |
|---|---|
| −1 | 5 |
| 0 | 4 |
| 1 | 3 |
Графический способ задания функции
Теперь давайте разберемся, что называют графиком функции и как его построить.
Прежде чем перейти к изучению графического способа задания функции обязательно вспомните, что называют прямоугольной системой координат.
Рассмотрим функцию « y(x) = −2x + 1 ».
Найдем несколько значений « y » для произвольных « x ». Например, для x = −1 ,
x = 0 и x = 1 .
Результаты запишем в таблицу.
| x | Расчет |
|---|---|
| −1 | y(−1) = −2 · (−1) + 1 = 2 + 1 = 3 |
| 0 | y(0) = −2 · 0 + 1 = 0 + 1 = 1 |
| 1 | y(1) = −2 · 1 + 1 = −2 + 1 = −1 |
Назовем каждую полученную точку и запишем их координаты в новую таблицу.
| Имя точки | x | y |
|---|---|---|
| (·) A | −1 | 3 |
| (·) B | 0 | 1 |
| (·) C | 1 | −1 |
Отметим точки А(−1;3) , B(0;1) и С(1;−1) на прямоугольной системе координат.
Соединим отмеченные точки прямой. Проведенная прямая будет графиком функции « y(x) = −2x + 1 ».
Запомните!
График функции — это объединение всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию произвольные числовые значения вместо « x ».
Другими словами можно сказать, что под графиком функции мы понимаем множество всех точек, координаты которых мы можем найти, подставляя в функцию любые числовые значения вместо « x ».
Полученный график функции « y(x) = −2x + 1 » это бесконечное множество точек, которые лежат на одной прямой.
При многократном увеличении графика функции мы увидим, что в самом деле вся прямая состоит из рядом стоящих точек.
Точки располагаются максимально близко к друг другу, поэтому по расчетам получается, что графиком функции будет являться прямая.
Ваши комментарии
Важно!
Чтобы оставить комментарий, вам нужно войти на наш сайт при помощи «ВКонтакте».
Ольга Привальцева 
Профиль Благодарили: 0
Сообщений: 1
Ольга Привальцева
Профиль
Благодарили: 0
Сообщений: 1
Евгений Колосов 
Профиль Благодарили: 12
Сообщений: 197
Евгений Колосов
Профиль
Благодарили: 12
Сообщений: 197
Понятие «функция». Элементарные функции
Функция — соответствие между элементами двух множеств — правило, по которому каждому элементу первого соответствует один и только один элемент второго множества. Математическое понятие функции выражает интуитивное представление о том, как одна величина полностью определяет значение другой величины. Так, значение переменной x однозначно определяет значение выражения x 2 , также значение месяца однозначно определяет значение следующего за ним месяца. «Житейский» пример функции: каждому человеку можно однозначно поставить в соответствие его биологического отца. Часто под термином «функция» понимается числовая функция, то есть функция, которая ставит одни числа в соответствие другим. Эти функции удобно представлять в виде графиков.
История
Термин «функция» (в некотором более узком смысле) был впервые использован Лейбницем (1692 год). В свою очередь, Иоганн Бернулли в письме к Лейбницу придал этому термину смысл, более близкий к современному.
Первоначально понятие функции было неотличимо от понятия аналитического представления. Впоследствии появилось определение функции, данное Эйлером (1751 год), затем — у Лакруа (1806 год), — уже практически в современном виде. Наконец, общее определение функции (в современной форме, но только для числовых функций) было дано Лобачевским (1834 год) и Дирихле (1837 год).
К концу XIX века понятие функции переросло рамки числовых систем. Сначала понятие функции было распространено на векторные функции, вскоре Фреге ввёл логические функции (1879), а после появления теории множеств Дедекинд (1887) и Пеано (1911) сформулировали современное универсальное определение.
Способы задания функции
Аналитический способ
Функцию можно задать с помощью аналитического выражения (например, формулой). В этом случае её обозначают как соответствие в форме равенства.
Функция, заданная одной формулой:
Неявно заданная функция:
Табличный способ
Табличный способ — это способ задания функции с помощью таблицы со значениями.
Графический способ
Функцию можно также задать с помощью графика. Графический способ — это способ задания функции с помощью графика. В этом случае аргумент является абсциссой точки, а значение функции, соответствующее данному аргументу, ординатой.
Элементарные функции
- степенная функция с любым действительным показателем;
- показательная и логарифмическая функции;
- тригонометрические и обратные тригонометрические функции.
Каждую элементарную функцию можно задать формулой, то есть набором конечного числа символов, соответствующих используемым операциям. Все элементарные функции непрерывны на своей области определения.
Иногда к основным элементарным функциям относят также гиперболические и обратные гиперболические функции, хотя они могут быть выражены через перечисленные выше основные элементарные функции.
Что такое функция
Понятие функции – одно из основных в математике.
На уроках математики вы часто слышите это слово. Вы строите графики функций, занимаетесь исследованием функции, находите наибольшее или наименьшее значение функции. Но для понимания всех этих действий давайте определим, что такое функция.
Определение функции можно дать несколькими способами. Все они будут дополнять друг друга.
1. Функция – это зависимость одной переменной величины от другой. Другими словами, взаимосвязь между величинами.
Любой физический закон, любая формула отражает такую взаимосвязь величин. Например, формула – это зависимость давления жидкости от глубины .
Чем больше глубина, тем больше давление жидкости. Можно сказать, что давление жидкости является функцией от глубины, на которой его измеряют.
Знакомое вам обозначение как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина зависит от величины по определенному закону, или правилу, обозначаемому .
Другими словами: меняем (независимую переменную, или аргумент) – и по определенному правилу меняется .
Совсем необязательно обозначать переменные и . Например, – зависимость длины от температуры , то есть закон теплового расширения. Сама запись означает, что величина зависит от .
2. Можно дать и другое определение.
Функция – это определенное действие над переменной.
Это означает, что мы берем величину , делаем с ней определенное действие (например, возводим в квадрат или вычисляем ее логарифм) – и получаем величину .
В технической литературе встречается определение функции как устройства, на вход которого подается , а на выходе получается .
Итак, функция – это действие над переменной. В этом значении слово «функция» применяется и в областях, далеких от математики. Например, можно говорить о функциях мобильного телефона, о функциях головного мозга или функциях депутата. Во всех этих случаях речь идет именно о совершаемых действиях.
3. Дадим еще одно определение функции – то, что чаще всего встречается в учебниках.
Функция – это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго множества.
Например, функция каждому действительному числу ставит в соответствие число в два раза большее, чем .
Повторим еще раз: каждому элементу множества по определенному правилу мы ставим в соответствие элемент множества . Множество называется областью определения функции. Множество – областью значений.
Но зачем здесь такое длинное уточнение: «каждому элементу первого множества соответствует один и только один элемент второго»? Оказывается, что соответствия между множествами тоже бывают разные.
Рассмотрим в качестве примера соответствие между двумя множествами – гражданами России, у которых есть паспорта, и номерами их паспортов. Ясно, что это соответствие взаимно-однозначное – у каждого гражданина только один российский паспорт. И наоборот – по номеру паспорта можно найти человека.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция . Каждому значению соответствует одно и только одно значение . И наоборот – зная , можно однозначно найти .
Могут быть и другие типы соответствий между множествами. Возьмем для примера компанию друзей и месяцы, в которые они родились:
Каждый человек родился в какой-то определенный месяц. Но данное соответствие не является взаимно-однозначным. Например, в июне родились Сергей и Олег.
Пример такого соответствия в математике – функция . Один и тот же элемент второго множества соответствует двум разным элементам первого множества: и .
А каким должно быть соответствие между двумя множествами, чтобы оно не являлось функцией? Очень просто! Возьмем ту же компанию друзей и их хобби:
Мы видим, что в первом множестве есть элементы, которым соответствует два или три элемента из второго множества.
Очень сложно было бы описать такое соответствие математически, не правда ли?
Вот другой пример. На рисунках изображены кривые. Как вы думаете, какая из них является графиком функции, а какая – нет?
Ответ очевиден. Первая кривая – это график некоторой функции, а вторая – нет. Ведь на ней есть точки, где каждому значению соответствует не одно, а целых три значения .
Перечислим способы задания функции.
1 . С помощью формулы. Это удобный и привычный для нас способ. Например:
Это примеры функций, заданных формулами.
2 . Графический способ. Он является самым наглядным. На графике сразу видно все – возрастание и убывание функции, наибольшие и наименьшие значения, точки максимума и минимума. В следующей статье будет рассказано об исследовании функции с помощью графика.
К тому же не всегда легко вывести точную формулу функции. Например, курс доллара (то есть зависимость стоимости доллара от времени) можно показать только на графике.
3 . С помощью таблицы. С этого способа вы когда-то начинали изучение темы «Функция» — строили таблицу и только после этого – график. А при экспериментальном исследовании какой-либо новой закономерности, когда еще неизвестны ни формула, ни график, этот способ будет единственно возможным.
4 . С помощью описания. Бывает, что на разных участках функция задается разными формулами. Известная вам функция задается описанием:
Даже в первой части ЕГЭ по математике есть задачи на понимание определения функции.
Задание 1. Найдите если при
Что такое ? Это функция, каждому числу x ставящая в соответствие число Например,
Задание 2. Найдите если при
функция, каждому числу b ставящая в соответствии число
Тогда и значение
Задание 3, подготовительная задача. Найдите область определения функции
Очевидно, что оба подкоренных выражения должны быть неотрицательны. Получим систему:
Решая ее, найдем область определения функции:
Понятие функции – одно из основных в программе математики 10-11 класса. Более того – именно с функций и графиков начинается настоящая, «взрослая» математика. Ведь сложение и вычитание, умножение и деление, дроби и пропорции – это все-таки арифметика. Математика – наука не только о числах, но и о взаимосвязях величин. Функции и графики – универсальный язык, понятный физику и биохимику, астроному, инженеру и экономисту.
В настоящее время в вариантах ЕГЭ появилась задача по теме: Функции и графики. Есть также задачи на темы: точки максимума и минимума, поведение функции.
Тема Функции и графики есть также в вариантах ОГЭ по математике. Разберем реальные задачи ОГЭ и ЕГЭ по этим темам.
Необходимая теория в этом статье, а на других страницах нашего сайта:
Задачи ЕГЭ по теме: Функции и графики
Задача 1. На рисунке изображены графики двух линейных функций. Найдите абсциссу точки пересечения графиков.
Линейная функция задается формулой
Найдем формулу первой функции, возрастающей. На ее графике выделены точки и
Угол наклона этой прямой к ось абсцисс острый, значит 0; k=tg\alpha=\frac<7><2>=3,5.’ alt=’k>0; k=tg\alpha=\frac<7><2>=3,5.’ />
Формула функции: Найдем и для этого подставим координаты любой из выделенных точек, например, точки с координатами
это формула возрастающей функции.
2. Найдем уравнение второй линейной функции, убывающей. На ее графике выделены точки и
Угол наклона этой прямой к ось абсцисс тупой, значит, для нее
Уравнение этой прямой имеет вид: Найдем и для этого подставим координаты любой из выделенных точек, например, точки с координатами
это формула второй функции, убывающей.
3) Найдем абсциссу точки пересечения графиков функций. Для этого решим уравнение:
Задача 2. На рисунке изображен график функции , определенной на отрезке Найдите количество точек максимума функции на данном отрезке.
Точка максимума – такая внутренняя точка области определения функции, значение функции в которой больше, чем во всех достаточно близких к ней точках (локальная «горка» на графике). Таких точек мы видим три.
Задача 3. Графики функций и пересекаются в точках С и Е, причем абсцисса точки С положительна. Найдите абсциссу точки Е.
Найдем сначала значения параметров а и b.
График функции проходит через точку с координатами Подставим и в формулу функции Получим:
Значит, эта функция задается уравнением
График функции проходит через точку значит, линейная функция задается уравнением
Для точек пересечения графиков этих функций выполняется равенство:
Отсюда Решим это квадратное уравнение.
Так как абсцисса точки С положительна, она равна 0,5. Эта точка пересечения графиков показана на рисунке.
Абсцисса точки E (находится за пределами рисунка) равна -3.
Задача 4. Графики функций и пересекаются в точках А и В. По данным рисунка найдите абсциссу точки В.
Решение:
Запишем формулу функции
Ее график – квадратичная парабола
Вычитаем из первого уравнения второе:
то есть
Так как абсцисса вершины параболы,
Подставив в уравнение получаем:
Найдем точки пересечения графиков и
Для этих точек:
или
Абсцисса точки A равна -2 (как и показано на рисунке). Тогда абсцисса точки B равно 12.
Задача 5. На рисунке изображён график функции Найдите k.
На рисунке изображена гипербола. Ее график получен из графика функции смещением на 2 единицы влево и на одну единицу вниз
Чтобы найти , подставим координаты точки в формулу функции. На графике эта точка выделена жирным.
Чтобы проверить правильность решения, можно подставить в формулу функции координаты второй точки, которая выделена на графике,
получили верное равенство.
Задача 6. На рисунке изображены графики функций и которые пересекаются в точках A и B. Найдите ординату точки B.
На рисунке изображены прямая и парабола.
Найдем уравнение параболы. Обратим внимание на выделенные точки на графике.
и Также парабола пересекает ось ординат в точке значит,
Подставим значение с и координаты точек в формулу квадратичной функции и получим систему двух уравнений с двумя переменными:
Формула квадратичной функции:
Найдем точки пересечения параболы и прямой. Для этого решим уравнение:
корни этого уравнения:
Абсцисса точки В равна -8. Найдем ее ординату:
Задача 7. На рисунке изображены графики функции и которые пересекаются в точках А и B. Найдите абсциссу точки B.
На рисунке изображены гипербола и прямая.
Найдем уравнение прямой:
Формула прямой:
На прямой выделены две точки: и Подставим по очереди их координаты в уравнение прямой и получим систему двух уравнений с двумя переменными:
; вычтем из первого уравнения второе и получим
Найдем уравнение гиперболы. Ее график симметричен относительно начала координат, значит, ее формула .
Если то Тогда уравнение гиперболы:
Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого решим уравнение:
Это дробно-рациональное уравнение.
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
Решим увадратное уравнение:
— абсцисса точки А, она показана на графике.
— абсцисса точки В, которую нужно было найти.
Задача 8. На рисунке изображены графики функции и которые пересекаются в точке А. Найдите ординату точки А.
1) Найдем уравнение линейной функции. На ее графике выделены точки и
Линейная функция на рисунке — убывающая, значит,
Формула линейной функции: Чтобы найти b, подставим координаты любой из выделенных точек. Возьмем, например, точку
— формула линейной функции.
2) Найдем коэффициент а в формуле второй функции . На ее графике выделена точка
Подставим координаты этой точки в уравнение:
3) Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого решим систему уравнений:
Решив это уравнение, найдем, что
Это абсцисса точки пересечения графиков. Найдем ординату этой точки.
Задача 9. На рисунке изображён график функции вида где числа a, b, c и d — целые. Найдите d при условии, что 0. ‘ alt=’d > 0. ‘ />
Мы складываем график линейной функции и график модуля который сдвинут вправо (так как 0′ alt=’d > 0′ />) и сжат или растянут. Мы складываем линейную и кусочно-линейную функции. При сложении графиков линейных функций угловой коэффициент суммы равен сумме угловых коэффициентов слагаемых.
– точка излома графика
До точки угловой коэффициент по модулю меньше, чем после точки
Значит, левее точки коэффициент равен а правее точки равен и 0. ‘ alt=’c>0. ‘ />
Находим по графику, что Получим систему
Сложив уравнения системы, получим
Подставим во второе уравнение системы, получим откуда
В точке излома графика выполняется условие тогда а так как то
Если , то . По графику
Получим уравнение откуда
Мы получили: значит, график на рисунке – это
Задачи ОГЭ по теме: Функции и графики.
Задача 10. На рисунке изображен график квадратичной функции
Какие из следующих утверждений о данной функции являются верными? Запишите их номера.
1) 0′ alt=’f(x)>0′ /> при 2′ alt=’x>2′ />
2) Функция убывает на промежутке
3)
Решение:
Неверно, 0′ alt=’f(x)>0′ /> при
Верно, так как – вершина параболы.
Неверно,
Задача 11. Найдите значение k по графику функции изображенному на рисунке.
На рисунке изображена гипербола. Так как , то
Возьмем точку на графике с целыми координатами Подставим ее абсциссу и ординату в уравнение:
Задание 12. Найдите значение b по графику функции изображенному на рисунке.
На рисунке изображен график квадратичной функции, то есть парабола.
Абсцисса вершины параболы равна значит,
Возьмем точки графика и
Подставим их координаты в уравнение функции.
Вычтем из первого уравнения второе и получим:
Спасибо за то, что пользуйтесь нашими публикациями. Информация на странице «Что такое функция» подготовлена нашими редакторами специально, чтобы помочь вам в освоении предмета и подготовке к экзаменам. Чтобы успешно сдать нужные и поступить в ВУЗ или колледж нужно использовать все инструменты: учеба, контрольные, олимпиады, онлайн-лекции, видеоуроки, сборники заданий. Также вы можете воспользоваться другими материалами из разделов нашего сайта.
Что такое функция?
Мы знаем, как соответствовать определенным чертам: быть вежливым, опрятным, инициативным. А как быть соответствиям между числовыми множествами — узнаем в этой статье про математические функции.
17 декабря 2020
· Обновлено 23 июня 2023
Понятие функции
Определение функции можно сформулировать по-разному. Рассмотрим несколько вариантов, чтобы усвоить наверняка.
1. Функция — это взаимосвязь между величинами, то есть зависимость одной переменной величины от другой.
Знакомое обозначение y = f (x) как раз и выражает идею такой зависимости одной величины от другой. Величина у зависит от величины х по определенному закону, или правилу, которое обозначается f.
Вывод: меняя х (независимую переменную, или аргумент) — меняем значение у.
2. Функция — это определенное действие над переменной.
Значит, можно взять величину х, как-то над ней поколдовать — и получить соответствующую величину у.
В технической литературе можно встретить такие определения функции для устройств, в которых на вход подается х — на выходе получается у. Схематично это выглядит так:
В этом значении слово «функция» используют и в далеких от математики областях. Например, так говорят о функциях ноутбука, костей в организме или даже о функциях менеджера в компании. В каждом перечисленном случае речь идет именно о неких действиях.
3. Функция — это соответствие между двумя множествами, причем каждому элементу первого множества соответствует один элемент второго множества. Это самое популярное определение в учебниках по математике.
Например, функция у = 2х каждому действительному числу x ставит в соответствие число y, которое в два раза больше, чем х.
Область определения — множество х, то есть область допустимых значений выражения, которое записано в формуле.
Например, для функции вида
область определения выглядит так:
- х ≠ 0 (потому что на ноль делить нельзя)
И записать это можно так: D (y): х ≠ 0.
Область значений — множество у, то есть это значения, которые может принимать функция.
Например, естественная область значений функции y = x2 — это все числа больше либо равные нулю. Можно записать вот так: Е (у): у ≥ 0.
Для примера рассмотрим соответствие между двумя множествами — человек-владелец странички в инстаграм и сама страничка, у которой есть владелец. Такое соответствие можно назвать взаимно-однозначным — у человека есть страничка, и это можно проверить. И наоборот — по аккаунту в инстаграм можно проверить, кто им владеет.
В математике тоже есть такие взаимно-однозначные функции. Например, линейная функция у = 3х +2. Каждому значению х соответствует одно и только одно значение у. И наоборот — зная у, можно сразу найти х.