Что означает знак o в математике

О-нотация

«O» большое и «o» малое ( $\mathcal<O>» width=»» height=»» /> и <img decoding=$ , если существует константа C > 0 , что для всех x из некоторой окрестности точки x₀ имеет место неравенство $|f(x)| \leqslant C |g(x)|$ ;

f является «о» малым от g при $x\to x_0$ , если для любого $\varepsilon&gt;0$ найдется такая проколотая окрестность U_<x_0>» width=»» height=»» /> точки x0 , что для всех <img decoding=

U_<x_0>» width=»» height=»» /> точки <i>x</i><sub>0</sub> , что для всех <img decoding=

$x\to x_0$

Иначе говоря, в первом случае отношение | f | / | g | в окрестности точки x₀ ограничено сверху, а во втором оно стремится к нулю при .

Обозначение

Обычно выражение «f является „O“ большим („о“ малым) от g» записывается с помощью равенства f(x) = O(g(x)) (соответственно, f(x) = o(g(x))).

Это обозначение очень удобно, но требует некоторой осторожности при использовании (а потому в наиболее элементарных учебниках его могут избегать). Дело в том, что это не равенство в обычном смысле, а несимметричное отношение.

В частности, можно писать

f(x) = O(g(x)) (или f(x) = o(g(x))),

O(g(x)) = f(x) (или o(g(x)) = f(x))

Другой пример: при x → 0 верно, что

O(x²) = o(x),

o(x) = O(x²).

Вместо знака равенства методологически правильнее было бы употреблять знаки принадлежности и включения, понимая O( ) и o( ) как обозначения для множеств функций, то есть используя запись в форме

x² + x³ ∈ O(x²)

$\mathop O(x^2)\subset o(x)$

x² + x³ = O(x²)

$\mathop O(x^2) = o(x)$

Однако на практике такая запись встречается крайне редко, в основном в простейших случаях.

При использовании данных обозначений должно быть явно оговорено (или очевидно из контекста), о каких окрестностях (одно- или двусторонних; содержащих целые, вещественные или комплексные числа и т. п.) и о каких допустимых множествах функций идет речь (поскольку такие же обозначения употребляются и применительно к функциям многих переменных, к функциям комплексной переменной, к матрицам и др.).

Другие подобные обозначения

Для функций f(n) и g(n) при n → n₀ используются следующие обозначения:

Обозначение

Интуитивное объяснение

Определение

$f(n) \in O(g(n))$

f ограничена сверху функцией g (с точностью до постоянного множителя) асимптотически

$\exists (C&gt;0), U : \forall (n \in U) \; |f(n)| \leq C|g(n)|$

$f(n) \in \Omega(g(n))$

f ограничена снизу функцией g (с точностью до постоянного множителя) асимптотически

$\exists (C&gt;0), U : \forall (n \in U) \; C|g(n)| \leq |f(n)|$

$f(n) \in \Theta(g(n))$

f ограничена снизу и сверху функцией g асимптотически

$\exists (C&gt;0), (C$

$f(n) \in o(g(n))$

g доминирует над f асимптотически

$\forall (C&gt;0) ,\exists U : \forall(n \in U) \; |f(n)| &lt; C|g(n)|$

$f(n) \in \omega(g(n))$

f доминирует над g асимптотически

$\forall (C&gt;0) ,\exists U : \forall(n \in U) \; C|g(n)| &lt; |f(n)|$

$f(n) \sim g(n)\!$

f эквивалентна g асимптотически

$\lim_<n \to n_0>\frac<f(n)> <g(n)>= 1″ width=»» height=»» /></td> </tr> </table> где U — проколотая окрестность точки n0. <h3>Основные свойства</h3> <h4>Транзитивность</h4> <ul> <li><img decoding=$

$f(n)=O(f(n))\!$

$f(n)=\Omega(f(n))\!$

Симметричность

$f(n)=\Theta(g(n)) \Leftrightarrow g(n)=\Theta(f(n))$

Перестановочная симметрия

$\begin<matrix>f(n)= O(g(n)) &amp; \Leftrightarrow &amp; g(n)=\Omega(f(n)) \\ f(n)= o(g(n)) &amp; \Leftrightarrow &amp; g(n)=\omega(f(n)) \end<matrix>» width=»» height=»» /> <h4>Другие</h4> <ul> <li>o(f) = const × o(f); O(f) = const × O(f);</li> <li>o(f) = o(const × f); O(f) = O(const × f);</li> <li>o(f) = O(f);</li> <li>o(f) + o(f) = o(f); o(f) + O(f) = O(f); O(f) + O(f) = O(f);</li> <li>O(f) × O(g) = O(fg); o(f) × O(g) = o(fg); o(f) × o(g) = o(fg);</li> <li>O(O(f)) = O(f);</li> <li>o(o(f)), o(O(f)), O(o(f)) = o(f);</li> <li>O(-f) = O(f)</li> </ul> <h3>Асимптотические обозначения в уравнениях</h3> <ul> <li>Если в правой части уравнения находится только асимптотическое обозначение (например n = O(n²)), то знак равенства обозначает принадлежность множеству (n ∈ O(n²)).</li> <li>Если в уравнении асимптотические обозначения встречается в другой ситуации, они рассматриваются как подставляемые взамен их некоторые функции. Например, при x → 0 формула ex − 1 = x + o(x) обозначает, что ex − 1 = x + f(x) , где f(x) — функция, о которой известно только то, что она принадлежит множеству o(x) . Предполагается, что таких функций в выражении столько, сколько раз встречаются в нём асимптотические обозначения. Например, <img decoding=$

Определение о малого
Символом о малое обозначают любую бесконечно малую функцию o ( f ( x )) по сравнению с заданной функцией f ( x ) при аргументе, стремящемся к некоторому конечному или бесконечному числу x ₀ .

Функция α называется бесконечно малой по сравнению с функцией f при :
при
(читается: « есть о малое от при »),
если существует такая проколотая окрестность точки , на которой
при ,
где – бесконечно малая функция при :
.

Заметим, что просто бесконечно малая функция при является бесконечно малой по сравнению с постоянной функцией, не равной нулю.

Если, в предыдущем определении, f является бесконечно малой функцией при , то говорят, что является бесконечно малой более высокого порядка, чем f при .

Определение О большого
Символом О большое обозначают любую функцию , ограниченную относительно функции при аргументе, стремящемся к некоторому конечному или бесконечному числу x ₀ .

Функция f ограничена относительно функции g при x → x ₀ :
при
(читается: « есть О большое от при »),
если функции f и g определены на некоторой проколотой окрестности точки и существует такое число C , что на этой окрестности выполняется неравенство:
.

Можно дать еще одно эквивалентное определение О большого, которое удобно применять в некоторых задачах.
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
,
где – функция, которая определена и ограничена на этой окрестности.

Просто ограниченная, на некоторой проколотой окрестности точки , функция является ограниченной по сравнению с постоянной функцией, не равной нулю.

Функции f и g называются функциями одного порядка при :
при ,
если и при .
Это определение также можно записать так:
.
При этом функции и определены и ограничены на некоторой проколотой окрестности точки .

Функции f и g называются эквивалентными (асимптотически равными) при :
при ,
если на некоторой проколотой окрестности точки ,
при , причем
.

Подчеркнем, что означает одну из функций, принадлежащей множеству бесконечно малых функций по сравнению с . Или это функция, о которой известно, что она является бесконечно малой. Другие свойства , в конкретном применении, не представляют интереса. Например, выражение означает, что если прибавить одну функцию из множества бесконечно малых (по сравнению с ) функций к другой функции из того же множества, то их сумма является функцией, которая также принадлежит этому множеству. Выражение означает, что , то есть что принадлежит множеству функций, бесконечно малых по сравнению с .

Определения в компактном виде

Приведенные выше определения можно дать в однообразном компактном виде.
при ;
при ;
при ;
при .

Свойства и теоремы

Теорема. Свойства о малого

1) Если , то при .
2) Если на некоторой проколотой окрестности точки , при ,
и , то
.
Пусть на некоторой проколотой окрестности точки определены функции и . Тогда при выполняются следующие соотношения.
3.1) , где c ≠ 0 – постоянная.
3.2) ;
3.3) ;
3.4) ;
3.5) , где .
Доказательство ⇓

Свойства о малого, применяемые в степенных рядах

Здесь m и n – натуральные числа, .
;
;
, если ;
;
;
;
, где ;
, где c ≠ 0 – постоянная;
.

Для доказательства этих свойств нужно выразить о малое через бесконечно малую функцию:
, где .

Свойства О большого

Пусть на некоторой проколотой окрестности точки определены функции и . Тогда при выполняются следующие соотношения;
, где c ≠ 0 – постоянная;
;
;
;
, где .

Свойства эквивалентных функций

1) Свойство симметрии. Если, при , , то .
2) Свойство транзитивности. Если, при , и , то .
3) Если , то при .
Доказательство ⇓

Теорема о связи эквивалентных функций с о малым

Для того чтобы две функции и были эквивалентными (или асимптотически равными), необходимо и достаточно чтобы при выполнялось условие:
.
Доказательство ⇓

Это свойство часто записывают так:
.
При этом говорят, что является главной частью при . При этом главная часть определена не однозначно. Любая эквивалентная функция является главной частью к исходной.
В силу свойства симметрии:
.

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
.
Доказательство ⇓

В силу свойства симметрии эквивалентных функций, если не существует один из этих пределов, то не существует и другой.

Поскольку любая функция, определенная на некоторой проколотой окрестности точки , эквивалентна самой себе, то существуют пределы
.

Заменив функции g и g ₁ на 1/ g и 1/ g ₁ , получим аналогичную теорему для произведения.
Если, при , и , то
.
Это означает, что если существует один предел, то существует и другой. Если не существует один из этих пределов, то не существует и второй.

Лемма. Признак функций одного порядка

Если существует конечный ненулевой предел
(Л1.1) ,
то функции f и g одного порядка при :
при .
Доказательство ⇓

Доказательство свойств и теорем

Теорема. Свойства о малого

Пусть . Это означает, что существует такая проколотая окрестность точки , на которой определено отношение и поэтому . Тогда на этой окрестности
,
где . По условию
.
Тогда .
Свойство 1) доказано.

2) Если на некоторой проколотой окрестности точки , при ,
и , то
.

Поскольку , то на рассматриваемой проколотой окрестности точки ,
.
Поскольку , то
.
Свойство 2) доказано.

Пусть на некоторой проколотой окрестности точки определены функции и . Тогда при выполняются следующие соотношения.
3.1) , где c ≠ 0 – постоянная.
3.2) ;
3.3) ;
3.4) ;
3.5) , где .

3.1). Пусть . Согласно определению о малого,
,
где . Введем функцию . Тогда
.
Поскольку , то
.
Свойство 3.1) доказано.

3.2). Докажем, что .
Пусть . Согласно определению о малого,
,
где .
Тогда ,
где . Поскольку
, то
.
Свойство 3.2) доказано.

3.3). Докажем, что .
Пусть . Согласно определению о малого,
,
где . Тогда
.
Здесь . Поскольку
,
то .
Свойство 3.3) доказано.

3.4). Докажем, что .
Пусть . Согласно определению о малого,
,
где ,
.
Согласно арифметическим свойствам предела функции,
.
Тогда .
Свойство 3.4) доказано.

3.5). Пусть при . Тогда, согласно определению о малого, ,
где . Тогда
,
где .
Поскольку и , то
.
Здесь мы воспользовались свойствами степенной функции, ее непрерывностью, теоремой о пределе непрерывной функции от функции и теоремой о пределе абсолютного значения функции.
Свойство 3.5) доказано.

Эквивалентные функции

Свойства эквивалентных функций

Все формулировки ⇑ 1) Свойство симметрии. Если, при , , то .

Поскольку при , , то согласно определению эквивалентной функции, существует такая проколотая окрестность точки , на которой
,
где .
Поскольку функция имеет отличный от нуля предел, то по теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел, существует такая проколотая окрестность точки , на которой . Поэтому на этой окрестности . Следовательно, на ней определена функция . Тогда
.
Согласно теореме о пределе частного двух функций,
.
Свойство доказано.

2) Свойство транзитивности. Если, при , и , то .

Теорема о связи эквивалентных функций с о малым

Все формулировки ⇑ Для того чтобы две функции и были эквивалентными (или асимптотически равными), необходимо и достаточно чтобы при выполнялось условие:
.

1. Необходимость. Пусть функции и являются эквивалентными при . Тогда
.
Поскольку , то
.
Тогда .
Необходимость доказана.

2. Достаточность. Пусть при ,
.
Тогда , где . Отсюда
.
Поскольку , то
.
Теорема доказана.

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Все формулировки ⇑ Если, при , и и существует предел
, то существует и предел
.

Пусть, при , и . Тогда
, где
.
Поскольку существует предел , то существует такая проколотая окрестность точки , на которой функция определена и отлична от нуля. Поскольку , то, по теореме об ограниченности снизу функции, имеющей ненулевой предел, существует такая проколотая окрестность точки , на которой и, следовательно, . Тогда существует проколотая окрестность точки , на которой функция определена и отлична от нуля и, следовательно, определено частное :
.
Применяем арифметические свойства предела функции:
.

Признак функций одного порядка

Все формулировки ⇑ Лемма
Если существует конечный ненулевой предел
(Л1.1) ,
то функции f и g одного порядка при :
при .

Поскольку существует предел (Л1.1), то по теореме о пределе абсолютного значения функции, существует предел
.
Тогда согласно определению предела функции по Коши, для любого , существует такая проколотая окрестность точки , на которой
при .

Преобразуем неравенство и подставим :
;
;
(Л1.2) .
Из второго неравенства:
,
или .
Из первого неравенства (Л1.2):
,
или .

Использованная литература.
О. И. Бесов. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, 2004.
А. М. Дымарский. Лекции по математическому анализу. Часть 1. Москва, МФТИ, 2020.
Л. Д. Кудрявцев. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 2003.
С. М. Никольский. Курс математического анализа. Том 1. Москва, 1983.

Таблица математических символов

В математике повсеместно используются символы для упрощения и сокращения текста. Ниже приведён список наиболее часто встречающихся математических обозначений, соответствующие команды в TeX, объяснения и примеры использования.

Кроме указанных символов, иногда используются их зеркальные отражения, например, $A \subset B$ обозначает то же, что и $B \supset A.$

Знаки операций, или математические символы — знаки, которые символизируют определённые математические действия со своими аргументами.

К самым распространённым относятся:

Плюс: +
Минус: −
Знаки умножения: ×, ∙ (в программировании также *)
Знаки деления: :, /, ∕, ÷
Знак равенства, приближённого равенства, неравенства: =, ≈, ≠
Скобки (для определения порядка операций и др.): (), [], <>, <>
Знак тождественности: ≡
Знаки сравнения: <, >, ≤, ≥, ≪, ≫
Знак порядка (тильда):

Список математических символов — List of mathematical symbols

A математический символ — это фигура или комбинация цифр, которая используется для представления математического объекта, действие над математическими объектами, отношение между математическими объектами или для структурирования других символов, встречающихся в формуле . Формула формулы целиком состоит из символов различных типов, используемых для выражения всей математики, требуется много символов.

Самыми символами являются десятичные цифры (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) и буквы Латинский алфавит. Десятичные цифры используются для представления чисел через индуистско-арабскую систему счисления. Исторически заглавные буквы использовались для представления точек в геометрии, а строчные буквы использовались для чисел и констант. Буквы используются для обозначения других типов математических объектов. Примеры таких видов современной математике, возникло возникновение, используются также греческий алфавит и некоторые еврейские. В математических формулах стандартным шрифтом является курсив для латинских букв и строчных греческих букв и вертикальный шрифт для прописных греческих букв. Чтобы иметь больше символов, также используются другие гарнитуры, в основном полужирный a, A, b, B,…, <\ displaystyle \ mathbf , \ ldots, > шрифт шрифта A, B,… <\ displaystyle <\ mathcal >, \ ldots> (шрифт в нижнем регистре используется редко, потому что возможной путаницы со стандартным шрифтом), немецкий fraktur a, A, b, B,…, <\ displaystyle <\ mathfrak >, \ ldots,> и жирная доска N, Z, R, C <\ displaystyle \ mathbb > (другие буквы используются редко, или их применение, является спорным).

В этой статье мы представляем основные символы, которые используются в математике, и их общее использование.

Для использования букв в качестве символов число см. переменная (математика). Об их использовании в качестве символов для констант см. Список математических констант.

Содержание

1 Арифметические операторы
2 Равенство, эквивалентность и сходство
3 Сравнение
4 Базовая логика
5 Операторы, действующие функции или образов
6 Бесконечные числа
7 Логическая пунктуация
8 Разное
9 Скобки
10 Прочие небуквенные символы

11 Буквенные символы

11.1 Буквенные модификаторы
11.2 Символы на основе латинских букв
11.3 Символы на основе иврита или греческих букв

Арифметические операторы

Равенство, эквивалентность и подобие

Сравнение

Базовая логика

Несколько символов широко используются во всей математике и логике здесь. Для символов, которые используются только в математической логике или используются редко, см. Список логических символов.

Обозначает логическое отрицание и читается как «не». Если E — это логический предикат, ¬ E <\ displaystyle \ neg E>— это предикат, который оценивает как истинный тогда и только тогда, когда E оценивается как false. Для наглядности его часто заменяют словом «не». В языках программирования и некоторых математических текстах его часто заменяют «

» или «!», Которые легче набирать на клавиатуре. 1. Обозначает логическое или и читается как «или». Если E и F являются логическими предикатами, E ∨ F <\ displaystyle E \ lor F>истинно, если либо E, F, либо оба истинны. Его часто заменяют словом «или» или символом «». 2. В теории решетки обозначает операцию соединения или наименьшей верхней границы. 3. В топологии , обозначает сумму клина двух заостренных пространств. 1. Обозначает логические элементы и и читается как «и». Если E и F являются логическими предикатами, E ∧ F <\ displaystyle E \ land F>истинно, если E и F оба истинны. Его часто заменяют словом «и». 2. В теории решетки обозначает операцию соответствие или самая большая нижняя граница. 3. В полилинейной алгебре, геометрии и многомерном исчислении обозначает продукт клина или внешний продукт. 1. Обозначает универсальный количественный анализ и читается «для всех». Если E является логическим предикатом, ∀ x E <\ displaystyle \ forall xE>означает, что E истинно для всех указанных переменных x. 2. Часто используется неправильно в тексте как сокращение «для всех» или «для каждого». 1. Обозначает количественную способность существования и читается как «существует. такое, что». Если E является логическим предикатом, ∃ x E <\ displaystyle \ exists xE>означает, что существует по крайней мере одно значение x, для которого истинно E. 2. Часто используется неправильно в тексте как аббревиатура «существует». Обозначает количественную оценку уникальности, то есть ∃! х п <\ displaystyle \ существует! xP>означает, что существует ровно один x такой, что P (истинно) ». Другими словами, ∃! Икс P (Икс) <\ Displaystyle \ существует! xP (x)>— это сокращение от ∃ x (P (x) ∧ ¬ y (P (y) ∧ y ≠ x)). <\ Displaystyle \ существует х \, (п (х) \, \ клин \ отр \ существует у \, (п (у) \ клин у \ neq х)).>1. Обозначает условное обозначение материала и читается как «подразумевает». Если P и Q являются логическими предикатами, P ⇒ Q <\ displaystyle P \ Rightarrow Q>означает, что если P истинно, то Q также истинно. Таким образом, P ⇒ Q <\ displaystyle P \ Rightarrow Q>логически эквивалентно Q ∨ ¬ P. <\ displaystyle Q \ lor \ neg P.>2. Часто используется неправильно в тексте как сокращение от «подразумевает». 1. Обозначает логическую эквивалентность и читается как «эквивалентно» или «тогда и только тогда когда,. Если P и Q являются логическими предикатами, P ⇔ Q <\ displaystyle P \ Leftrightarrow Q>, таким образом, является сокращением от (P ⇒ Q) ∧ (Q ⇒ P), <\ displaystyle (P \ Rightarrow Q) \ land (Q \ Rightarrow P),>или (P ∧ Q) ∨ (¬ P ∧ ¬ Q). <\ Displaystyle (P \ земля Q) \ lor (\ neg P \ land \ neg Q).>2. Часто используется неправильно в текстовом виде как сокращение от «тогда и только тогда».

Операторы, действующие на функции или выполнять

Бесконечные числа

Логическая пунктуация

В этом разделе перечисленные символы используются как своего рода знаки препинания в математических рассуждениях, которые обычно используются внутри формулы. За исключением первого, они использовались в классической логике для обозначения логической зависимости между предложениями, написанными на простом английском языке. Они по-прежнему используются на черной доске для обозначения взаимосвязей между формулами. Обычно они используются в математических текстах, потому что для удобства чтения они используются, хотя бы одно слово между двумя языками.

Используется для обозначения конца корректуры и его отделения от текущего текста. инициализм Q.E.D. или QED (quod erat manifestrandum) часто используется для одной и той же цели, либо в верхнем, либо в нижнем регистре. Аббревиатура от «поэтому». Помещенный между двумя утверждениями, это означает, что первое подразумевает второе. Например: «Все люди смертны. Сократ — человек. ∴ Сократ смертен ». Сокращение от «потому что» или «поскольку». Помещенный между двумя утверждениями, это означает, что первое подразумевается вторым. Например: «11 — это простое число ∵ у него нет положительных целочисленных множителей, кроме него самого и единицы.»

Разное

скобки

Символ. в HTML	Символ. в TeX	Имя	Пояснение
		Читается как
		Категория
() <\ displaystyle <\ \ choose \>> .	комбинация ;. биномиальный коэффициент n выбираем k комбинаторику	(nk) = n! / (п — к)! к! знак равно (N — К + 1) ⋯ (N — 2) ⋅ (N — 1) ⋅ N К! <\ displaystyle <\ begin n \\ k \ end > = <\ frac > = <\ frac <(n-k + 1) \ cdots (n-2) \ cdot (n-1) \ cdot n>>> . означает (в случае n = положительное целое число) количество комбинаций k элементов, взятых из набора n элементы. (Это также может быть записано как C (n, k), C (n; k), nCk, Ckили ⟨nk⟩ <\ displaystyle \ left \ langle <\ begin n \\ k \ end > \ right \ rangle> .)	(36 5) = 36! / (36-5)! 5! = 32 ⋅ 33 ⋅ 34 ⋅ 35 ⋅ 36 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ 4 ⋅ 5 = 376992 <\ displaystyle <\ begin 36 \\ 5 \ end > = <\ frac <36! / (36 -5)!><5!>> = <\ Frac <32 \ cdot 33 \ cdot 34 \ cdot 35 \ cdot 36><1 \ cdot 2 \ cdot 3 \ cdot 4 \ cdot 5>> = 376992> .

. (когда u — положительное целое число). означает обратный или возрастающий биномиальный коэффициент.

b истинно , если a ≡ b (mod 5).

(Note that the notation (a,b) is ambiguous: it could be an ordered pair or an open interval. Set theorists and computer scientists often use angle brackets ⟨ ⟩ instead of parentheses.)

(a, b, c) is an ordered triple (or 3-tuple).

(Note that the notation (a,b) is ambiguous: it could be an ordered pair or an open interval. The notation ]a,b[ can be used instead.)

(0, +∞) equals the set of positive real numbers.

we can define the structure functions Sq( τ <\displaystyle \tau >):

. Обратите внимание, что Обозначение ⟨u, v⟩ может быть неоднозначным: оно может означать внутреннее произведение или линейный диапазон. Диапазон S также может быть записан как Sp (S).

(Также часто используется обозначение (a, b).)

Прочие небуквенные символы

Символ. в HTML	Символ. в TeX	Имя	Пояснение
		Читается как
		Категория
∗	∗ <\ displaystyle >. \ ast или	свертка свертка;. свертка с помощью функционального анализа	f ∗ g означает свертку f и g. (В отличие от f * g, что означает произведение g на комплексное сопряжение f, как описано ниже.)..

(Также может быть записано в тексте как f ∗ g.)

\ smashtimes требуется \ usepackage и \ setmathfont или другой математический шрифт открытого типа.

Буквенные символы

Включает перевернутые буквы.

Буквенные модификаторы

Символ. в HTML	Символе. в TeX	Имя	Пояснение	Примеры
		Читается как
		Категория
a	a ¯ <\ displaystyle <\ bar >> . \ bar , \ overline	среднее overbar;. bar statistics	x ¯ <\ displaystyle <\ bar >> ( часто читается как «столбец x») — это среднее значение (среднее значение xi <\ displaystyle x_ > ).	х = <1, 2, 3, 4, 5>; x ¯ = 3 <\ displaystyle x = \ <1,2,3,4,5 \>; <\ bar > = 3> .
		конечная последовательность, кортеж конечный последовательность, кортеж теория модели	a ¯ <\ displaystyle <\ overline >> означает конечную последовательность / кортеж (a 1, a 2. ан). <\ displaystyle (a_ <1>, a_ <2>. a_ ).> .	a ¯: = (a 1, a 2. an) <\ displaystyle <\ overline >: = (a_ <1>, a_ <2>. a_ )> .
		алгебраическое замыкание алгебраическое замыкание теории поля	F ¯ < \ displaystyle <\ overline >> — алгебраическое замыкание поля F.	Поле алгебраических чисел иногда обозначается как Q ¯ <\ displaystyle <\ overline <\ mathbb >>> , потому что это алгебраическое замыкание рациональных чисел Q <\ displaystyle <\ mathbb >> .
		комплексное сопряжение сопряжение комплексное число	z ¯ <\ displaystyle <\ overline >> означает комплексное сопряжение z. (z может также использоваться для сопряжения z, как описано выше.)	3 + 4 i ¯ = 3-4 i <\ displaystyle <\ overline <3 + 4i>> = 3-4i> .
		топологическое замыкание (топологическое) замыкание топологии	S ¯ <\ displaystyle <\ overline ~~>> — топологическое замыкание множества S. Он также может обозначаться как cl (S) или Cl (S).~~	В пространстве действительных чисел Q ¯ = R <\ displaystyle <\ overline <\ mathbb >> = \ mathbb > ( рациональные числа плотные в действительных числах).
a ⇀ <\ displaystyle <\ overset <\ rightharpoonup>>>	a ⇀ <\ displaystyle <\ overset <\ rightharpoonup>>> . \ overset <\ rightharpoonup>	вектор гарпун линейная алгебра
â	a ^ <\ displaystyle <\ hat >> . \ hat	единичный вектор hat геометрия	a ^ <\ displaystyle \ mathbf <\ hat >> (произносится как «шляпа») — это нормализованная версия вектора a <\ displaystyle \ mathbf > , имеющий длину 1.
â	a ^ <\ displaystyle <\ hat >> . \ hat	оценка оценка для статистики	θ ^ <\ displaystyle <\ hat <\ theta>>> — оценка или оценка для параметра θ <\ displaystyle \ theta>.	Оценка μ ^ = ∑ ixin <\ displaystyle \ mathbf <\ hat <\ mu>> = < \ frac <\ sum _ x_ > >> дает примерную оценку μ ^ (x) <\ displaystyle \ mathbf <\ hat <\ mu>> (\ mathbf )> для среднего μ <\ displaystyle \ mu>.
′	′ <\ displaystyle '>. ‘	производная. простое число;. производная от исчисления	f ‘(x) означает производную функции f в точке x, то есть наклон наклона касательной к f в точке x. (Вместо этого иногда используется одинарная кавычка, особенно в тексте ASCII.)	Если f (x): = x, то f ′ (x) = 2x.
˙ <\ displaystyle <\ dot <\,>>> . \ dot	производная. dot;. производная по времени исчисления	x ˙ <\ displaystyle <\ dot >> означает производную x по времени. То есть x ˙ (t) = ∂ ∂ tx (t) <\ displaystyle <\ dot > (t) = <\ frac <\ partial><\ partial t>> x (t)> .	Если x (t): = t, то x ˙ (t) = 2 t <\ displaystyle <\ dot > (t) = 2t> .

Символы на основе латинских букв

Символ. в HTML	Символ. в TeX	Имя	Пояснение	Примеры
		Прочитать как
		Категория
��.. B	B <\ displaystyle \ mathbb > . \ mathbb .. B <\ displaystyle \ mathbf > . \ mathbf	логическое домен B;. (набор) логических значений;. (набор) значений истинности; теория множеств, логическая алгебра	�� означает либо <0, 1>, < ложь, истина>, или <⊥, ⊤><\ displaystyle \ left \ <\ bot, \ top \ right \>> .	(¬False) ∈ ��
ℂ.. C	C <\ displaystyle \ mathbb > . \ mathbb .. C <\ displaystyle \ mathbf > . \ mathbf	комплексные числа C;. (набор) комплексные числа числа	ℂ означает .	я ∈ ℂ

Обратите внимание, что индикаторная функция также иногда обозначается 1.

пользователя P (S).

ℤ или ℤ означает <1, 2, 3. >.. ℤ означает <0, 1, 2, 3. >.. ℤℤ

Символы на основе еврейских или греческих букв

Символ. в HTML	Символ. в TeX	Имя	Пояснение	Примеры
		Читается как
		Категория
Γ	Γ <\ displaystyle \ Gamma>. \ Gamma	Гамма-функция Гамма-функция комбинаторика	Γ (z) знак равно ∫ 0 ∞ xz — 1 e — xdx, ℜ (z)>0. <\ displaystyle \ Gamma (z) = \ int _ <0>^ <\ infty>x ^ e ^ <- x>\, dx, \ \ qquad \ Re (z)>0 \.>
δ	δ < \ displaystyle \ delta>. \ delta	дельта-функция Дирака дельта Дирака гиперфункции	δ (x) = <∞, x = 0 0, x ≠ 0 <\ displaystyle \ delta (x) = <\ begin \ infty, x = 0 \\ 0, x \ neq 0 \ end >>	δ (x)
		дельта Кронекера дельта Кронекера из гиперфункции	δ ij = <1, я знак равно J 0, я ≠ J <\ Displaystyle \ delta _ = <\ begin 1, i = j \\ 0, i \ neq j \ end >>	δij
		Функции ональная производная Функциональная производная от Дифференциальные операторы	⟨δ F [φ (x)] δ φ (x), f (x)⟩ = ∫ δ F [φ (x)] δ φ (x ′) F (x ′) dx ′ = lim ε → 0 F [φ (x) + ε f (x)] — F [φ (x)] ε = dd ϵ F [φ + ϵ f] \| ϵ знак равно 0. <\ Displaystyle <\ begin \ left \ langle <\ frac <\ delta F [\ varphi (x)]><\ delta \ varphi (x)>>, f (x) \ right \ rangle = \ int <\ frac <\ delta F [\ varphi (x)]><\ delta \ varphi (x ')>> f (x’) dx ‘\\ = \ lim _ <\ varepsilon \ to 0> <\ гидроразрыв <\ varepsilon>> \\ = \ left. <\ frac > F [\ varphi + \ epsilon f] \ right \| _ <\ epsilon = 0>. \ End >>	δ V (r) δ ρ (r ′) = 1 4 π ϵ 0 \| г — г ‘\| <\ displaystyle <\ frac <\ delta V (r)><\ delta \ rho (r ')>> = <\ frac <1> <4 \ pi \ epsilon _ <0>\| rr ‘\|>>>
∆.. ⊖.. ⊕	△ <\ displaystyle \ vartriangle>. \ vartriangle.. ⊖ <\ displaystyle \ ominus>. \ ominus.. ⊕ <\ displaystyle \ oplus>. \ oplus	симметричная разность симметричная разность теория множеств	A ∆ B (или A ⊖ B) означает набор элементов точно в одном из A или B. (не путать с дельтой, Δ, описанное ниже.)	<1,5,6,8>Δ <2,5,8>= <1,2,6>.. <3,4,5, 6>⊖ <1,2,5,6>=
Δ	Δ <\ displaystyle \ Delta>. \ Delta	delta delta;. изменение в исчислении	Δx означает (не бесконечно малое) изменение x. (Если изменение бесконечно малым, вместо использования его δ и d. Не путать с симметричной разностью, написано ∆, выше.)	Δ y Δ x <\ displaystyle <\ tfrac <\ Delta y ><\ Delta x>>> — градиент прямой линии.
Δ	Δ <\ displaystyle \ Delta>. \ Delta	Лапласиан Оператор Лапласа векторное исчисление	Оператор Лапласа является дифференциальным оператором второго порядка в n-мерном евклидовом пространстве	Если ƒ дважды дифференцируемым вещественнозначная функция, то лапласиан ƒ определяет как Δ f = ∇ 2 f = ∇ ⋅ ∇ f <\ displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ <2>f = \ nabla \ cdot \ nabla f>
∇	∇ <\ displaystyle \ nabla>. \ nabla	gradient del ;. nabla ;. gradient ofВекторное исчисление	∇f (x 1. x n) — вектор частных производных (∂f / ∂x 1. ∂f / ∂x n).	Если f (x, y, z): = 3xy + z², то ∇f = (3y, 3x, 2z)
		расхождение del dot;. расхождение исчисление	∇ ⋅ v → = ∂ vx ∂ x + ∂ vy ∂ y + ∂ vz ∂ z <\ displaystyle \ nabla \ cdot <\ vec > = <\ partial v_ \ over \ partial x> + <\ partial v_ \ over \ partial y> + <\ partial v_ \ over \ partial z>>	v →: = 3 xyi + y 2 zj + 5 к <\ displaystyle <\ vec >: = 3xy \ mathbf + y ^ <2>z \ mathbf +5 \ mathbf > , затем ∇ ⋅ v → знак равно 3 y + 2 yz <\ displaystyle \ nabla \ cdot <\ vec > = 3y + 2yz> .
		curl curl без исчисления	∇ × v → Знак равно (∂ vz ∂ Y — ∂ vy ∂ Z) я <\ displaystyle \ nabla \ times <\ vec > = \ left ( <\ partial v_ \ over \ partial y> — <\ partial v_ \ over \ partial z> \ right) \ mathbf > . + (∂ vx ∂ z — ∂ vz ∂ x) j + (∂ vy ∂ x — ∂ vx ∂ Y) К <\ Displaystyle + \ влево (<\ partial v_ \ over \ partial z> — <\ partial v_ \ over \ partial x> \ right) \ mathbf + \ left ( <\ partial v_ \ over \ partial x> — <\ partial v_ \ over \ pa rtial y> \ right) \ mathbf >	Если v →: = 3 xyi + y 2 zj + 5 k <\ displaystyle <\ vec > : = 3xy \ mathbf + y ^ <2>z \ mathbf затем +5 \ mathbf > , ∇ × v → = — y 2 i — 3 xk <\ displaystyle \ nabla \ times <\ vec > = — y ^ <2>\ mathbf -3x \ mathbf > .
π	π <\ displaystyle \ pi>. \ pi	Pi пи;. 3,1415926. ;. ≈355 ÷ 113 математическая константа	Используется в различных формулах с окружениями; π эквивалентно величине площади, которую займет круг в квадрате одинаковой ширины с площадью 4 квадратных единиц, примерно 3,14159. Это также отношение окружности к диаметру окружности.	A = π R = 314,16 → R = 10
		функция подсчета простых чисел функция подсчета простых чисел теории чисел	π (x) <\ displaystyle \ pi (x)>подсчитывает простых чисел, меньших или равных x <\ displaystyle x>.	π (10) = 4
		проекция Проекция реляционной алгебры	π a 1,…, an (R) <\ displaystyle \ pi _ , \ ldots, a_ > (R)> ограничивает R <\ displaystyle R>до <\ displaystyle \ , \ ldots, a_ \>> установлен атрибут.	π Возраст, Вес (человек) <\ displaystyle \ pi _ <\ text <Возраст, вес>> (<\ text >)>
		Гомотопическая группа n-я гомотопическая группа Теория гомотопии	π n (X) <\ displaystyle \ pi _ (X)> состоит из классов гомотопической эквивалентности сохраняющих базовую точку отображаемых из n-мерной сферы (с соответствующей точкой) в заостренное пространство X.	π i (S 4) = π i (S 7) ⊕ π i — 1 (S 3) <\ displaystyle \ pi _ (S ^ <4>) = \ пи _ < я>(S ^ <7>) \ oplus \ pi _ <я-1>(S ^ <3>)>
∏	∏ <\ displaystyle \ prod>. \ prod	product произведение больше. от. до. из арифметических	∏ k = 1 nak <\ displaystyle \ prod _ ^ a_ > означает a 1 a 2… an <\ displaystyle a_ <1>a_ <2>\ dots a_ > .	∏ k = 1 4 (k + 2) = (1 + 2) (2 + 2) (3 + 2) (4 + 2) = 3 × 4 × 5 × 6 = 360 <\ displaystyle \ prod _ ^ <4>(k + 2) = (1+ 2) ( 2 + 2) (3 + 2) (4 + 2) = 3 \ раз 4 \ раз 5 \ время s 6 = 360>
∏	∏ <\ displaystyle \ prod>. \ prod	декартово произведение декартово произведение;. прямое произведение из установить ory	∏ i = 0 n Y i <\ displaystyle \ prod _ ^ >> означает набор всех (n + 1) пары (y0. y n).	∏ n = 1 3 R = R × R × R = R 3 <\ displaystyle \ prod _ ^ <3><\ mathbb > = \ mathbb \ times \ mathbb \ times \ mathbb = \ mathbb ^ <3>>
∐	∐ <\ displaystyle \ coprod >. \ coprod	копродукт копроизведение над. от. до. теории категорий	Общая конструкция, которая включает в себя несвязное объединение множеств и топологических, свободное вектор произведение групп и прямая сумма модулей и пробных пространств. Копродукт семейства объектов — это, по сути, «характеристикаее специфичный» объект, для которого каждый объект в семействе допускает морфизм.
σ	σ <\ displaystyle \ sigma>\ sigma	selection Выбор реляционной алгебры	Выбор σ a θ b (R) <\ displaystyle \ sigma _ (R)> выбирает все эти кортежи в R <\ displaystyle R>, для которых θ <\ displaystyle \ theta>находится между a <\ displaystyle a>и атрибут b <\ displaystyle b>. Выбор σ a θ v (R) <\ displaystyle \ sigma _ (R)> выбирает все эти кортежи в R <\ displaystyle R>, для которого θ <\ displaystyle \ theta>находится между атрибутом a <\ displaystyle a>и величиной v <\ displaystyle v >.	σ A ge ≥ 34 (Персон) <\ displaystyle \ sigma _ <\ mathrm \ geq 34> (\ mathrm )> . σ A ge = W восемь (Персон) <\ displaystyle \ sigma _ <\ mathrm = \ mathrm > (\ mathrm )>
σ	σ <\ displaystyle \ sigma>\ sigma	стандартное отклонение стандартное отклонение населения статистика	мера распространения или вариация набора значений в выборке совокупности.	σ = Σ (xi — μ) 2 N <\ displaystyle \ sigma = <\ sqrt <\ dfrac <\ Sigma (x_ — \ mu) ^ <2>> >>>
∑	∑ <\ displaystyle \ sum>. \ sum	суммирование сумма по. от. до. из арифметики	∑ k = 1 nak <\ displaystyle \ сумма _ ^ >> означает a 1 + a 2 + ⋯ + an <\ displaystyle a_ <1>+ a_ <2>+ \ cdots + a_ > .	∑ К = 1 4 К 2 = 1 2 + 2 2 + 3 2 + 4 2 = 1 + 4 + 9 + 16 = 30 <\ displaystyle \ sum _ ^ <4>> = 1 ^ <2>+ 2 ^ <2>+ 3 ^ <2>+ 4 ^ <2>= 1 + 4 + 9 + 16 = 30>

Варианты

В математике, написанной на персидском или арабском, некоторые символы могут быть перевернуты, чтобы упростить письмо и чтение справа налево.

Что означает знак o в математике

О-нотация

Обозначение

Другие подобные обозначения

Симметричность

Перестановочная симметрия

Определения в компактном виде

Свойства и теоремы

Теорема. Свойства о малого

Свойства о малого, применяемые в степенных рядах

Свойства О большого

Свойства эквивалентных функций

Теорема о связи эквивалентных функций с о малым

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Лемма. Признак функций одного порядка

Доказательство свойств и теорем

Теорема. Свойства о малого

Эквивалентные функции

Свойства эквивалентных функций

Теорема о связи эквивалентных функций с о малым

Теорема о замене функций эквивалентными в пределе частного

Признак функций одного порядка

Таблица математических символов

Список математических символов — List of mathematical symbols

Содержание

Арифметические операторы

Равенство, эквивалентность и подобие

Сравнение

Базовая логика

Операторы, действующие на функции или выполнять

Бесконечные числа

Логическая пунктуация

Разное

скобки

Прочие небуквенные символы

Буквенные символы

Буквенные модификаторы

Символы на основе латинских букв

Символы на основе еврейских или греческих букв

Варианты

Добавить комментарий Отменить ответ